稍微認真分析一下，讀者便會發現：在“十五子棋”中，方塊和空格的移動，都不會引起原先順列逆序的奇偶性的改變！由於圖（Ⅰ）的順列為偶逆序，而圖（Ⅱ）的順列為奇逆序，因而圖（Ⅱ）的形式是不可能通過方塊棋子的移動變為圖（Ⅰ）形式的。這就是為什麼“十五子棋”有時能夠成功，而有時不能成功的道理！左圖是一道練習，請讀者用逆序的理論判定一下，它是否能夠移動成正常的位置？一種遊戲之所以使人感到興趣，在於經一番奮鬥之後，能突然間享受到一種成功的歡悅。如果一種遊戲一開頭便得知最終的結果，自然也就乏味多了。這大約既是數學的缺點，也是數學的偉大。
石頭、剪子、布
對策論是現代數學的一個重要分支，在軍事、公安、經濟和日常生活各個方麵，都很有用處。由於對策論經常用智力遊戲--打撲克、下棋等做模型，所以又叫博奕論。博就是賭博，奕就是下棋。其實，賭博如果去掉輸贏財物的規定，就是智力遊戲。
再舉一個例子：有人要買外國一家公司的一條舊船。他知道這家公司有三條舊船，價格一樣。雙方商定先看一條船，如果他表示不要，再看第二條船，如果又表示不要，再看第三條船。既然三條船價格一樣，他當然要盡可能買最好的，但是哪一條是最好的呢？公司呢？它知道這次隻能賣掉一條船，為了多賺一些錢，當然希望把最壞的一條賣掉，那它應該按什麼順序介紹呢？這兩個對策論的問題含意是不同的，但是在數學上，它們是相同的問題。
一般的對策問題都是這樣：雙方各有一些可以采取的策略，一旦雙方的策略都確定了，就會出現一定的結果，問題是雙方怎樣找到最好的策略？孩子們很喜歡的“石頭、剪子、布”劃拳遊戲，就可以作為對策論的一個例子：甲乙二人同時伸出手來，做出石頭、剪子、布的樣子。兩個人如果手勢相同，就算平局；如果不同，石頭可以砸壞剪子，剪子可以把布剪破，布可以把石頭裹起來，那就有了勝負。
在這個問題裏，甲和乙各有三種可以采取的策略。結果如何？我們列出一個輸贏表來：
乙石頭剪子布甲石頭01-1剪子-101布1-10這是甲的“得分”表。“0”表示平局，“-1”表示輸，“1”表示贏。
我們把對策問題列成這樣的表，就成了“表上遊戲”。這種表是由若幹行和若幹列數字組成。甲可以指定其中的某一橫行，乙可以指定其中的某一直行。規定他們同時說出他們指定的橫行或直行。在這兩行的交叉點上的數，就是甲得到的分數。例如在左邊表格裏：
如果甲指定第二橫行，乙指定第三直行，甲就得到-3分，也就是說輸3分。
到此為止，我們為對策問題找到了一個數學模型。在代數課上，我們常常要為一個應用題列出方程式來。這個方程式就是應用問題的數學模型。有了數學模型，我們就可以暫時丟開原來的應用問題，全力去解決這個數學模型中的問題了。
所以現在，我們就暫時丟開什麼“熊”呀，船呀，手勢呀，全力以赴去研究這樣的一個問題。
在表上遊戲中，怎樣找出最好的策略。
現在我們在每一橫行的後麵和每一直行的下麵，又寫上了一個數。每個橫行後麵寫的數，是這一行中最小的那個數。每個直行下麵寫的數，是這一行中最大的那個數。
從甲的立場來看，不管乙采用什麼對策，他如果指定第一橫行，那最不利的結果是-5，就是說輸5分。同樣，他如果指定第二橫行，最壞的結果是-3，就是說輸3分。可見每一橫行的最小數表示的是：如果甲指定了這一行，可能發生的最壞結果是什麼。
甲應該選哪一橫行呢？當然是第三橫行了。因為這一行的最壞情況，他也不過輸1分而已。甲一旦采取了這個策略，那就不怕乙猜中他的策略，因為他已估計到最壞的情況了。當然，如果乙選擇了別的策略，甲還有可能不輸，甚至贏到一些分數。
從乙的立場來看，不管甲采取什麼對策，如果他指定第一直行，那最不利的結果是-1，即甲隻輸1分，乙隻贏一分。如果他指定第二直行，那對他最不利的結果就是6，即甲贏6分，乙輸6分。可見每一直行的最大數表示的是：如果乙指定了這一行，可能發生的最壞結果是什麼。
那麼乙應選擇哪一直行呢？當然是第一直行，因為這一行最壞的結果，他還可贏一分。
如果甲乙雙方都研究過對策論，那這個遊戲就變得十分簡單了：甲選取第三橫行，乙選取第一直行；結果甲輸1分，乙贏1分。
如果甲乙雙方都研究過對策論，那這個遊戲就變得十分簡單了：甲選取第三橫行，乙選取第一直行；結果甲輸1分，乙贏1分。
在對對策問題中，雙方必須鬥智，誰也不能胡亂來！不然就會陷入很不利的處境。比如說，甲不滿意輸一分的結局，想碰碰運氣，指定了第二直行，爭取那個勝6分。結果呢？如果乙不犯錯誤，指定第一直行，結果甲隻能輸得更多。因此對甲來說，最聰明的辦法就是把自己的策略公開告訴對方，對方也不會得到任何額外的收獲。同樣，乙的最好的策略，就是指定第一直行。即使甲知道了乙的這個策略，對乙也無可奈何。
這樣一來，這個遊戲的結局就是確定無疑的了。
猜點數
這是一個饒有趣味的遊戲。