劉徽在注解《九章算術》的過程中，創立了“割圓術”，為計算圓周率建立了嚴密的理論，提供了計算圓周率的科學方法，他正確地指出利用《九章算術》中的圓周率等於三的數值來計算麵積，所得出的不是真正的圓麵積，而是圓內接正六邊形的麵積，他把圓內接正六邊形依次分割為正一百九十二邊形，計算出圓周率為3．14。他還認為圓內接正多邊形的邊數越多，就越同圓周近似，這就是現代數學中的極限概念。圓周率是數學上的一個重要數據，計算圓麵積、圓周長、球表麵積和球體積等，都離不開圓周率，所以，推算出它的準確數值，無論是在理論上還是在實踐上都具有重要的意義。
在世界數學史上，許多國家的數學家都曾把圓周率作為重要的研究課題，為求出它的精確數值付出了很大努力，在某種意義上說，一個國家曆史上圓周率數值的準確程度，可以衡量這個國家數學的發展情況。劉徽的貢獻就在於他開創了圓周率研究的新階段，推動了我國古代數學的發展。
劉徽在注解《九章算術》時除了創建了新的體係“割圓術”外，他還運用了“齊同術”，即分數加減法中的通分法，用“今有術”來計算各種比例問題，用“圖驗法”對各種平麵圖形的麵積公式“以盈補虛”來證明，用“棋驗法”拚湊證明各種體積公式。他還分析了立方體，塹堵(正三角柱)、陽馬(一棱的底麵垂直的方錐)、鱉臑(直角三角錐)等形體間的關係。他也用同樣的方法研究了圓錐、圓亭(圓台)的體積。
劉徽的生平年代和事跡，不知為什麼史書記載很少，隻知道他生活的年代約在公元3世紀的魏晉時期，他致力於數學的研究，在我國古代數學體係的形成和發展進程中是個很有影響的人物，他除了著有《九章算術注》以外，還著有算術方麵的其它著作，如《九重差》一卷，《九章重差圖》一卷。在唐朝初年，《九章重差圖》已經失傳，但值得慶幸的是《九重差》一卷一直流傳到了現在，被稱為《海島算經》。劉徽的《九章算術注》已經成為世界性科學名著，被譯成多種文字出版，在世界數學史上留下了光輝的一頁。
一代梟雄曹操
漢永壽元年(公元155年)曹操降生在一個達官顯貴的家庭裏。祖父曹騰是費亭侯，任大長秋，父親曹嵩的官職也不小，做過司隸校尉、大司農、大鴻臚，到後來又用錢捐了大尉。雖說祖父、父親的官職很高，但由於祖父是個宦官，所以門第並不高，稱不上“望族！”
曹操在這樣的家庭裏長大，自然要受到良好的教育。他少年時象東漢時許多官宦人家的子弟一樣，生活放蕩不羈，常常臂架獵鷹，騎馬帶上獵犬到野外打獵。有時和綠林中人練習刀槍、騎射，他因此長就一副強健體魄，練就一身馬上步下的好武藝。
隨著年齡的增加，曹操對東漢王朝的昏暗腐敗逐漸有了深刻的認識，特別是耳聞目睹官場上的勾心鬥角，互相傾軋，官僚們不顧百姓死活，貪汙腐化，使他憂心忡忡，常常發出憤世疾俗的感喟(kuì)曹操到這時開始逐漸遠離舊時的“朋友”，從聲色犬馬的生活中脫離出來，暗自立誌要幹一番大事業。曹操是個意誌力很強的人，當他決心要幹一件大事時，他就能馬上甘諸實踐。他開始潛心讀書了。當時各地不斷爆發農民起義，特別是黃巾起義極大地震撼了東漢王朝腐朽朝廷。麵對動蕩不安的社會，曹操特別注意軍事著作的學習與研究。他搜集了東漢以前各家的軍事著作，把其中的主要內容摘錄下來，編成一本《兵書接(節)要》。他十分崇拜大軍事家孫武，反複研讀了《孫子兵法》，並為這本書詳加注釋，這本加注的本子他題名為《孫子略解》。由於他資質高，見聞廣博，經過幾年的認真學習，他的才能，特別是軍事才能達到了很高水平。在眾多的官宦子弟當中，他脫穎而出，得到一些很有名望的人交口稱讚。東漢太尉橋玄就特別賞識曹操，他曾對人說：“阿瞞(曹操又一名字)這小兒卓異不凡，將來定能幹一番大事業。”橋玄曾當著曹操的麵稱讚說：“天下就要大亂了，能夠安定天下的，恐怕隻有你了。”橋玄還說過要將自己的妻子兒女托給曹操的話。除了橋玄，象南陽郡的何顒(yóng)也特別賞識曹操。當他看到曹操，經過交談，他讚歎道：“漢朝將亡，安定天下的一定是這個人!”還有一件事值得一提，就是汝南名士許劭，這個人以慧眼識人著稱於世。曹操有一次特地登門拜訪，當麵問他：“你看我是怎樣一個人?”許劭看了看他，不肯說，經不住曹操的追問，他才說：“你呀，前程遠大不可限量。你將來恐怕是治國安邦的能臣，亂世的奸雄。”曹操聽了他這番似褒似貶的話，忍不住哈哈大笑起來。
這時的曹操雖然還很年輕，但由於當時一些有名望的人的宣揚和評論，他的名聲鵲起，成為受人矚目的人物了。
公元174年，剛滿二十歲的曹操開始步入仕途。起初隻是做皇帝的侍從官，不久，被任命做了洛陽北部尉，負責京城中的治安工作。當時的京城洛陽也很混亂，豪強仗勢欺人，強取豪奪之類的事件時有發生。曹操盡管官職很低，辦事卻很有魄力。他一上任，馬上下令把官署衙門修繕一新，又下令造了一批五色棒，在官署大門兩側懸掛十餘根。這些五色棒是用來懲戒違法亂紀的，凡有胡作非為觸犯律令的，不論是誰，重者用棒打死，輕者用棒懲戒。有一件事很能說明問題，漢靈帝寵幸的小太監蹇碩的叔父夜半出行，這在當時是違犯宵禁律令的，被士卒抓來送到曹操那裏處分。曹操立即按律叫人用五色棒亂棍打死。從此以後，京都裏的豪強大為震動，不敢再象從前那樣胡作非為了，京都秩序大為改觀。
後來，曹操又擔任議郎，可以參與討論國家大事。他看到朝廷一些貪汙腐敗、營私舞弊現象，十分生氣。他不怕得罪權貴，幾次上書朝廷，批評掌管朝政的人失職。盡管他大聲疾呼，慷慨激昂，但他位低言輕，根本不受重視。經過這些挫折後，他心灰意冷，再也不提什麼建議了。
公元184年，黃巾大起義爆發了，起義軍連戰連捷，奪取了許多城鎮。消息傳到京都，東漢統治集團驚恐萬分，連忙調集大軍前往鎮壓。曹操感到自己大顯身手的機會已經到來，寫奏章要求參加軍隊。曹操被任命為騎都尉，跟隨左中郎將皇甫嵩、右中郎將朱傍，開赴前線作戰。官兵很快打敗了起義軍，屠殺了幾萬起義的農民。由於作戰有功，曹操被提拔為濟南相。
曹操在濟南這段期間，主要幹了兩件比較有影響的事。一件是上任不久檢舉罷免了八名貪贓枉法的縣級官吏；另一件是下令拆除祠堂，禁止祭祀等迷信活動。這兩件事在當地引起很大震動，那些不法之徒不是遠走他鄉，就是有所收斂，濟南地界的社會風氣有了很大改變。曹操的作法自然要觸及到地方上的豪強勢力，難免要得罪朝廷中與之有聯係的一些權貴。遭到這些人聯名告狀，詆毀，曹操一氣之下，上書朝廷辭官回鄉。
曹操是個雄心勃勃的人，怎肯自甘寂寞，去過那種百無聊賴的隱居生活呢?公元188年，漢靈帝籌建西園新軍的時候，曹操接到任命後又回到洛陽擔任典軍校尉了。
第二年，漢靈帝病死，由年僅十四歲的劉辯繼位，這就是漢少帝。這時朝廷內部接連發生兩次政變，一是外戚國舅何進想除掉弄權的一群宦官，想借助董卓的力量，結果事情敗露，反被宦官殺死。二是董卓率領大軍開進京都以後，廢掉少帝，另立比劉辯更小，才年僅九歲的劉協為獻帝，自己封自己做了相國，把朝中大權全部抓到自己手中。董卓這個人十分殘暴，縱容手下將士燒殺搶掠，無惡不作，洛陽城內外，屍橫遍野，田園荒蕪，當官的和平民百姓整天在驚慌中度過日子，景象十分悲慘。
董卓想鞏固自己的地位，不惜重金籠絡人才，曹操也是他極力拉攏的一個。曹操看清董卓所作所為不得人心，難免要垮台的，不肯接受官職，謀殺董卓不成，連夜逃回家鄉譙縣。
曹操回鄉後立即著手建立軍隊。他一麵加緊打造武器，一麵散發家產收兵買馬。由於曹操建立軍隊打出的是興複漢室，討伐國賊，得到當地一些人的支持和讚助，很快就招募了三千人。這時曹操的親戚夏侯悼、夏侯淵和堂弟曹洪、曹仁等也帶領二千多人馬來，曹操有五千多人馬，正式樹起大旗，起兵討伐董卓。
曹操由於人單勢薄，便加入了以袁紹為盟主的討伐董卓的聯盟。這個各揣心腹事的軍事聯盟雖然人數很多，但由於缺乏一個有威望有膽識的首腦，又各自保存實力，不敢與董卓主力交鋒。曹操看到這種情況，又氣又急，決定單獨采取行動。他率領自己的五千人馬，由酸棗(今河南延津西南)向成皋(今河南滎陽汜水)前線迸發。在滎陽汴水，曹操與董卓部下的大將徐榮相遇，雙方展開一場激戰，因為力量懸殊，曹操的軍隊被擊敗，人馬死傷大半，曹操自己也中箭受傷。
曹操並沒有因為失敗而喪失信心，他和夏侯悼、曹洪等又設法招募軍隊，又組成了一支三千多人的隊伍。他帶領這支人馬準備繼續討伐董卓。
這時形勢發生很大變化，袁紹的聯盟內部矛盾加劇，各部紛紛搶占地盤，擴展勢力，由此發生火並。袁紹也想象董卓那樣另立個皇帝，在河北搞一個小朝廷。曹操堅決反對另立皇帝，勸阻各部化解矛盾，共同對敵。可是聯盟這時又難維係，不久，這些人便都率兵返回自己的地盤上謀求新的打算去了。於是；出現了軍閥割據，互相混戰的局麵。