對城市規模分布的討論
（一）國外對城市規模分布的理論解釋
學術界一般習慣於把城市規模分布分為首位分布和位序—規模分布兩種主要類型，並且提出各式各樣的理論解釋。這些解釋從方法論上來說有兩種基本類型，一種是從變量和過程中抽象出一定的數學關係，如對數正態分布、帕雷托分布、餘爾（Yule）分布等來證明特定的規模分布類型。另一種通常不表現出數學關係，而是提出一種關於各種變量之間的原因性論點。這些理論解釋的模式可分為如下幾種：隨機模式、城市增長模式、遷移模式、城市等級體係模式和考慮政治、經濟、文化和曆史諸因素的機製分析模式。
各種隨機模式是解釋城市位序—規模分布最有影響的理論。這些模式都建立在這樣一個前提上：位序—規模規律是隨機力量形成的穩定態結果，這些隨機力量服從一個或兩個簡單的定律或假設。大多數隨機模式的關鍵假設是吉布瑞特定律（Gibrat’sLaw）。該定律假定城市規模隨時間成適當
獨立於其增長速度的。
式中
Pt——時間t時城市的人口規模；
εt——時間t—1到t的人口增長率。
如果考慮n個時段，並且隻觀察到了小的增長率，則有
從（2）式可產生（3）式：
根據中心極限定理，獨立的隨機離差是漸近於正態分布的，所以（3）大中的εt是正態分布的；Pn即城市規模呈對數正態分布。結果，按照吉布瑞特定律，在城市增長的封閉係統中的最大城市與一般位序—規模定律裏是一致的。
西蒙（H.A.Simon）的隨機模式應用了吉布瑞特定律，但限製條件較少。在“每一規模級的城市的總體規模的期望變化獨立於該規模級”的情況下，他得出了相同的結果。此外，西蒙放鬆了對封閉體係的假設，允許城市人口有出入，尤其是西蒙模式假定：問題中的地理區包括了城市和鄉村兩種人口；城市地區粗出生率和死亡率與城市規模不相關；城市間有遷移；淨遷移從鄉村和國外流到城市；從城市遷出的移民與城市規模無關；任何移民隨機選擇到某一特定規模級的概率與規模級裏城市的總人口成正比；⑦某一最小規模以上的新城市對於此規模以上的全部城市總增長量的貢獻是恒常小的。在這些假定下產生餘爾分布，餘爾分布是一種穩定狀態。西蒙指出，這種分布的上尾在位序—規模的雙對數坐標係中是直線，而且當新城市對於全部城市總增長的貢獻接近於零時，其斜率接近於-1。
第二種流行的隨機模式來自係統論的熵最大化原理。貝利和加裏森首先把這一原理用來解釋城市規模分布。他們推論熵是一種當影響分布的力量很多，其行為也很混亂時達到的穩定態，與隻由極少數幾個力量影響下產生的規模分布形成鮮明的對照。貝利認為，在隻有少數幾個力量強大的因素作用下的國家，城市規模常產生首位分布，這些國家具有簡單的政治、經濟生活，如人口少麵積小的小國、城鎮化曆史較短的國家、過去有單一出口的殖民地曆史的國家。而位序—規模分布是許多種力量在很長時間裏作用的結果，以致一旦獲得了位序—規模分布，那麼這些力中的任何一個很可能隻是產生一種隨機的相對微小的作用。這種分布通常在工業經濟發達的國家、第三世界中有長期城鎮化發展曆史的國家，以及那些麵積大、曆史久、人口多、條件複雜的大國出現。
柯裏（L.Curry）企圖說明最大熵是怎樣隱含了一般位序—規模律。他假定有N個人，並且每個人居住在n個城市中的概率是相等的。對於n個城市，人口規模為i的城市有ni個，那麼，城市規模分布的狀態數是：
而且當N和n都很大時，ni=nn，熵就是
如果令城市平均規模u=N/n，那麼，當
時方程（5）熵最大化，就是一個指數分布，據此可以寫出累積分布函數
這裏P1是最大城市的人口。方程（7）最初被認為也是相當於位序—規模律的。
模擬在開放係統中變化的異速增長模式（allometricgrowthmodel）是第三種流行的隨機模式。簡單地說，異速增長模式假定：y是最大城市的人口，X是所有城市的總人口，則增長符合：
式中
b——為一個常數。
假如等式的兩邊取消dt，並且求積分，可以發現：
lgy=lga＋blgx（9）
式中
a——為一個常數。
柏克曼指出（9）式可以從帕雷托分布推導出來，並提議把它作為城市體係中的一種增長模式。
還有其它的一些隨機模式，這裏不再一一述及。
雖然隨機過程已被反複證明可以產生位序—規模規則，但有人認為它也有缺陷，這就是除了極少數的模式外，許多隨機模式對於位序—規模分布中可能出現不同的斜率沒有給予注意。
經濟增長模式是從古典經濟學的角度或采用柯布—道格拉斯生產函數來解釋在一定條件下，城市規模會導致位序—規模分布或對數正態分布。
遷移模式往往是用一種均衡來解釋城市規模分布，這種均衡是通過不同的速率而獲得的，而這不同的遷移速率又常常是與城市間不同的經濟機遇相聯係。
一大批學者把位序—規模分布與城市發展的等級體係理論聯係起來。傳統的中心地理論是最有影響的城市等級係列模式，按這個理論，城市規模分布本來是呈階梯狀的。廖什（A.L(sch）和胡佛（E.M.Hoover）很早就試圖把城市等級體係模式與位序—規模律調和起來，第一個有意義的完整推論是貝克曼（M.Beckmann）得出的。
大量的城市文獻都斷定經濟力量是城市社會組織的中心要素。這種世界性觀點已受到其他強調政治因素是主要力量的理論家們的挑戰。他們把國家看作是城市體係的決定因素，經濟力量隻被認為是一種中間變量。弗裏德曼（J.Friedmann）提出在工業化的早期階段，區位選擇受到經營欲望的強烈影響，傾向於直接接近政府權力中心。有人用亞洲、拉丁美洲一些國家首都的政治作用不斷增強作為主要原因來解釋這些國家首位度的增加。國家結構的差異影響城市規模分布的主要因素有3個國家變量：國家的集中化程度，它通常與空間集中和首位度聯係在一起；政府類型，認為社會主義製度與首位分布相聯係，而聯邦政府更多地與城市發展的分散模式相聯係；國家權力，它以政府控製決策的程度來影響空間發展，政府控製強烈的國家，私人企業緊靠權力中心布局的動力越強。其他一些人試圖把一些特定的文化、曆史因素和城市規模分布聯係起來，例如認為民族主義精神強的國家可產生首位型分布等。這些模式常常忽視了國家城市體係有很高的慣性，而且比國家政治體製和組織形式延續更長。支持這些模式的證據也往往是軼事式的，並不很嚴密，常常可以找到一些相反的例子。