式中：n′-n2+s必須是一個正整數，這就給出選擇定則n′=n±2k.特別當n=n′時，式(1.126)變為
〈n|H＾′|n〉=11-λ1+λ1-λnbr2Pn11-λ2，(1.127)
式中：Pn(x)是Legendre多項式，它的定義為
Pn(x)=xn∑[nbr2]s=0n!22s(s!)2(n-2s)!1-1x2s
(1.128)
當n=n′，還得到量子諧振子的能量本征值E(0)n受高斯微擾後的一級修正的表達式
E(1)n=〈n′|H＾′|n〉=n!(1-λ)n+1br2∑n2s=0λ2s22s(s!)2(n-2s)!(1.129)
式(1.129)是一個精確的結果，沒有任何近似.對於一些特殊情況，有
〈n|H＾′|n〉=11-λ，n=0(1.130)
接下來，我們給出式(1.120)的另一表式.
注意到拉蓋爾（Laguerre）多項式
Lxn(x)=∑kα+nn-k(-x)kk!
的母函數公式為
（1-t)-α-1expxtt-1=∑∞n=0Lxn(x)tn，
(1.131)
就可把式（1.120）表為簡潔的形式
eλX＾2=∶∑∞n=0Ln-1br2(-X＾2)λn∶
(1.132)
其中：求和上標符號（′）表示求和除了n′=n項外。
式中：n′-n2+s必須是一個正整數，這就給出選擇定則n′=n±2k.特別當n=n′時，式(1.126)變為
〈n|H＾′|n〉=11-λ1+λ1-λnbr2Pn11-λ2，(1.127)
式中：Pn(x)是Legendre多項式，它的定義為
Pn(x)=xn∑[nbr2]s=0n!22s(s!)2(n-2s)!1-1x2s
(1.128)
當n=n′，還得到量子諧振子的能量本征值E(0)n受高斯微擾後的一級修正的表達式
E(1)n=〈n′|H＾′|n〉=n!(1-λ)n+1br2∑n2s=0λ2s22s(s!)2(n-2s)!(1.129)
式(1.129)是一個精確的結果，沒有任何近似.對於一些特殊情況，有
〈n|H＾′|n〉=11-λ，n=0(1.130)
接下來，我們給出式(1.120)的另一表式.
注意到拉蓋爾（Laguerre）多項式
Lxn(x)=∑kα+nn-k(-x)kk!
的母函數公式為
（1-t)-α-1expxtt-1=∑∞n=0Lxn(x)tn，
(1.131)
就可把式（1.120）表為簡潔的形式
eλX＾2=∶∑∞n=0Ln-1br2(-X＾2)λn∶
(1.132)
其中：求和上標符號（′）表示求和除了n′=n項外。