1969年諾貝爾物理獎得主蓋爾曼後來調侃地說:“玻爾給整整一代的物理學家洗了腦,使他們相信,事情已經最終解決了。”
約翰·貝爾則氣忿忿地說:“德布羅意在1927年就提出了他的理論。當時,以我現在看來是丟臉的一種方式,被物理學界一笑置之,因為他的論據沒有被駁倒,隻是被簡單地踐踏了。”
誰能想到,就連像馮諾伊曼這樣的天才,也有陰溝裏翻船的時候。他的證明不成立!馮諾伊曼關於隱變量理論無法對觀測給出唯一確定的解的證明建立在5個前提假設上,在這5個假設中,前4個都是沒有什麼問題的,關鍵就在第5個那裏。我們都知道,在量子力學裏,對一個確定的係統進行觀測,我們是無法得到一個確定的結果的,它按照隨機性輸出,每次的結果可能都不一樣。但是我們可以按照公式計算出它的期望(平均)值。假如對於一個確定的態矢量Φ我們進行觀測X,那麼我們可以把它坍縮後的期望值寫成
但是在隱變量理論中,我們認為係統光由態矢量Φ來描述是不完全的,它還具有不可見的隱藏函數,或者隱藏的態矢量H。把H考慮進去後,每次觀測的結果就不再隨機,而是唯一確定的。現在,馮諾伊曼假設:對於確定的係統來說,即使包含了隱變量H之後,它們也是可以疊加的。即有:
這裏的問題大大地有。對於前一個式子來說,我們討論的是平均情況。也就是說,假如真的有隱變量H的話,那麼我們單單考慮Φ時,它其實包含了所有的H的可能分布,得到的是關於H的平均值。但把具體的H考慮進去後,我們所說的就不是平均情況了!相反,考慮了H後,按照隱變量理論的精神,就無所謂期望值,而是每次都得到唯一的確定的結果。關鍵是,平均值可以相加,並不代表一個個單獨的情況都能夠相加!
我們這樣打比方:假設我們扔骰子,骰子可以擲出1-6點,那麼我們每扔一個骰子,平均得到的點數是3.5。這是一個平均數,能夠按線性疊加,也就是說,假如我們同時扔兩粒骰子,得到的平均點數可以看成是兩次扔一粒骰子所得到的平均數的和,也就是3.5+3.5=7點。再通俗一點,假設ABC三個人同時扔骰子,A一次扔兩粒,B和C都一次扔一粒,那麼從長遠的平均情況來看,A得到的平均點數等於B和C之和。
但馮諾伊曼的假設就變味了。他其實是假定,任何一次我們同時扔兩粒骰子,它必定等於兩個人各扔一粒骰子的點數之和!也就是說隻要三個人同時扔骰子,不管是哪一次,A得到的點數必定等於B加C。這可大大未必,當A擲出12點的時候,B和C很可能各隻擲出1點。雖然從平均情況來看A的確等於B加C,但這並非意味著每回合都必須如此!
馮諾伊曼的證明建立在這樣一個不牢靠的基礎上,自然最終轟然崩潰。首先挑戰他的人是大衛·玻姆(David Bohm),當代最著名的量子力學專家之一。玻姆出生於賓夕法尼亞,他曾在愛因斯坦和奧本海默的手下學習和工作(事實上,他是奧本海默在伯克利所收的最後一個博士生),愛因斯坦的理想也深深打動著玻姆,使他決意去追尋一個回到嚴格的因果律,恢複宇宙原有秩序的理論。1952年,玻姆複活了德布羅意的導波,成功地創立了一個完整的隱變量體係。全世界的物理學家都吃驚得說不出話來:馮諾伊曼不是已經把這種可能性徹底排除掉了嗎?現在居然有人舉出了一個反例!
奇怪的是,發現馮諾伊曼的錯誤並不需要太高的數學技巧和洞察能力,但它硬是在30年的時間裏沒有引起值得一提的注意。David Mermin挪揄道,真不知道它自發表以來是否有過任何專家或者學生真正研究過它。貝爾在訪談裏毫不客氣地說:“你可以這樣引用我的話:馮諾伊曼的證明不僅是錯誤的,更是愚蠢的!”
看來我們在前進的路上仍然需要保持十二分的小心。
飯後閑話:第五公設
馮諾伊曼栽在了他的第五個假設上,這似乎是冥冥中的天道循環,2000年前,偉大的歐幾裏德也曾經在他的第五個公設上小小地絆過一下。
無論怎樣形容《幾何原本》的偉大也不會顯得過分誇張,它所奠定的公理化思想和演繹體係,直接孕育了現代科學,給它提供了最強大的力量。《幾何原本》把幾何學的所有命題推理都建築在一開頭給出的5個公理和5個公設上,用這些最基本的磚石建築起了一幢高不可攀的大廈。
對於歐氏所給出的那5個公理和前4個公設(適用於幾何學的他稱為公設),人們都可以接受。但對於第五個公設,人們覺得有一些不太滿意。這個假設原來的形式比較冗長,人們常把它改成一個等價的表述方式:“過已知直線外的一個特定的點,能夠且隻能夠作一條直線與已知直線平行”。長期以來,人們對這個公設的正確性是不懷疑的,但覺得它似乎太複雜了,也許不應該把它當作一個公理,而能夠從別的公理中把它推導出來。但2000年過去了,竟然沒有一個數學家做到這一點(許多時候有人聲稱他證明了,但他們的證明都是錯的)!
歐幾裏德本人顯然也對這個公設感到不安,相比其他4個公設,第五公設簡直複雜到家了(其他4個公設是:1,可以在任意兩點間劃一直線。2,可以延長一線段做一直線。3,圓心和半徑決定一個圓。4,所有的直角都相等)。在《幾何原本》中,他小心翼翼地盡量避免使用這一公設,直到沒有辦法的時候才不得不用它,比如在要證明“任意三角形的內角和為180度”的時候。