P(B-A)=P(B)-P(AB).
性質對任一事件A,有6
P(A)=-P(A).
1性質對任意三個事件A,A,A,有7123P(AAA)=P(A)+P(A)+P(A)-P(AA)1∪2∪312312P(AA)P(AA)P(AAA).
-13-23+123一般對於任意n個事件A,A,…,An,有12nnP(Ak)=P(Ak)-P(AiAj)k=∪1k=ijn11≤<≤∑∑n-P(AiAjAk)…()1P(AA…An).
+++-12ijkn11≤<∑<≤3
條件概率及有關公式條件概率:在事件B已經發生的條件下,事件A發生的概率,稱為事件A在給定條件B下的條件概率,記作P(A|B).
P(AB)若P(B),則P(A|B)=.也可以在縮減的樣本空間(B發生的樣本空間)>0P(B)中求事件A發生的概率.
乘法公式:對於任意兩事件A與B,若P(A),P(B),有>0>0P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).
對於任意n個事件A,A,…,An,若P(AA…An-),有12121>0P(AA…An)=P(A)P(A|A)P(A|AA)…P(An|AA…An-).
12121312121全概率公式:設B,B,…,Bn是n個互不相容的事件,且P(Bi)(i=,,…,12>012n
n),如果ABi,則i=?∪1n
P(A)=P(Bi)P(A|Bi).
i=∑1貝葉斯公式:在全概率公式條件下,若P(A),則有>0P(Bk)P(A|Bk)P(Bk|A)=,其中k=,,…,n.
n12P(Bi)P(A|Bi)i=∑1事件的獨立性及貝努裏概型事件的獨立性:設A,B是兩個隨機事件,若有P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與B相互獨立.
若對n個事件A,A,…,An中的任意m個事件12Ai,Ai,…,Aim,ii…imn,mn,121≤1<2<<≤2≤≤都滿足關係式P(AiAi…Aim)P(Ai)P(Ai)…P(Aim),12=12則稱A,A,…,An總體相互獨立,或簡稱A,A,…,An相互獨立.
1212貝努裏概型:若一個試驗隻有兩種結果A與A,且P(A)=p,P(A)=-p(p10<),則稱這個試驗為貝努裏試驗,它的n次重複獨立試驗稱為n重貝努裏試驗.
<1在n重貝努裏試驗中,事件A恰好發生k次的概率為kkn-kPn(k)=np(-p),k=,,,…,n.
C10124
答疑輔導問.如何理解必然事件與不可能事件?
?11答必然事件是在一定條件下必然發生的事件,不可能事件指的是在一定條件下必然不發生的事件.它們都不具有隨機性,是確定性的現象,但為研究的方便,把它們看作特殊的隨機事件.
問.互逆事件與互斥事件之間的區別與聯係?
?12答如果兩個事件A與B必有一個事件發生,且至多有一個事件發生,則A,B為互逆事件;如果兩個事件A與B不能同時發生,則A,B為互斥事件.因而,互逆必定互斥,互斥未必互逆.區別兩者的關鍵是:當樣本空間隻有兩個事件時,兩事件才可能互逆,而互斥適用於多個事件的情形.作為互斥事件在一次試驗中兩者可以都不發生,而互逆事件必發生一個且隻發生一個.
問.如何理解兩事件獨立與兩事件互斥?
?13答兩事件A,B獨立,則A與B中任一個事件的發生與另一個事件的發生無關,這時P(AB)=P(A)P(B);而兩事件互斥,則其中任一個事件的發生必然導致另一個事件不發生,這兩事件的發生是有影響的,這時AB=,P(AB)=.可以用圖形做一直觀解0
釋.在圖-左邊的正方形中,P(AB)=1,P(A)=1=P(B),表示樣本空間中兩事件1142的獨立關係,而在右邊的正方形中,P(AB)=,表示樣本空間中兩事件的互斥關係.
0ＡＢＢ
ＡＢＡ
圖１－１問.條件概率P(A|B)與積事件概率P(AB)之間的區別?
?14答P(A|B)是在試驗E的條件下增加了新條件B發生後,求得事件A的概率.
P(AB)在試驗E的條件下A,B同時發生的概率.雖然A,B都發生,但兩者是不同的.其聯係P(A|B)與P(AB)可以相互表示,即P(AB)P(A|B)=,P(AB)=P(A|B)P(B).
P(B)5
問.怎樣區分試驗是否為貝努裏試驗?
?15答我們稱隻有兩個結果的試驗為貝努裏試驗.要注意的是兩個結果不等於兩個樣本點,如射擊,成績可以是環、環、…、環,但我們可以分為命中、不中兩個結果.如果0110隻考慮事件A是否發生,則可以把試驗E的其他事件都看作A,則試驗E就是一個貝努裏試驗,因此貝努裏試驗是廣泛存在的.而n重貝努裏試驗是在相同條件下重複進行的貝努裏試驗,概率的統計定義就是由此概率模型得出的,以後我們將要講到的許多分布也與其有關.
典型例題例設A,B為兩事件,則(AB)(AB)表示().
1∪∩∪()必然事件()不可能事件AB()A與B恰有一個發生()A與B不能同時發生CD解選().A與B恰有一個發生,因為由事件運算關係可得C
(AB)(AB)=[A(AB)](B(AB)]∪∩∪∩∪∪∩∪=[(AA)(AB][(BA)(BB)]∩∪∩∪∩∪∩=[(AB)][BA]∪∩∪∩∪=(AB)(BA)={A與B恰有一個發生}.
∩∪∩例當事件A與B同時發生時,事件C必發生,則下列結論正確的是().
2()P(C)=P(AB)()P(C)=P(AB)AB∪()P(C)P(A)+P(B)-()P(C)=P(A)+P(B)-C≥1D1解當事件A與B同時發生時,事件C必發生,其意味著事件AB包含在事件C內,即ABC,因此有?
P(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-,≥∪≥1即()P(C)P(A)+P(B)-成立,其餘皆不一定成立.
C≥1例(.)對於任意二事件A和B,().
32003Ⅳ()若AB,則A,B一定獨立A≠()若AB,則A,B有可能獨立B≠()若AB=,則A,B一定獨立C
()若AB=,則A,B一定不獨立D
分析本題考查獨立與互斥事件之間的關係,事實上,獨立與互斥事件之間沒有必然的互推關係.
解AB=推不出P(AB)=P(A)P(B),因此推不出A,B一定獨立,排除();A
若AB=,則P(AB)=,但P(A)P(B)是否為零不確定,因此()、()也不成立,故0CD正確選項為().
B6
例甲從,,,,中任取一數,乙從,,,,中任取一數,求甲取的數大於424681013579乙取的數的概率.
解用(i,j)表示甲取到數i而乙取到數j這一結果,則樣本空間為Ω={(i,j)|i=,,,,;j=,,,,},這是一個古典型隨機試驗.
24681013579設A表示事件“甲取到的數大於乙取到的數”,則A={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),21414361636581838587(,),(,),(,),(,),(,)}.
101103105107109由於樣本點總數為,A所包含的樣本點有個,所以2515P(A)=15=3.
255例一個教室共有n+k個座位,隨機地坐n個人,求其中指定的s個座位(sn)5<都坐了人的概率.
解n個人坐在有n+k個座位的教室裏,每一種坐法為一個樣本點,樣本點總數為n
n+k·n!,由於坐法的任意性,各樣本點出現是等可能的.
Cs
坐在指定位置上的s人是從n個人中選出來的,有n種選法,選出的s個人坐在指定C
n-s的位置上有s!種坐法,其餘n-s人隻能坐在未指定的位置上,坐法有n+k-s·(n-s)!
Csn-s種,由乘法原理即知事件“指定的s個座位都坐了人”含有n·s!n+k-s·(n-s)!個樣CC本點,因此所求的概率為sn-ssn·s!n+k-s·(n-s)!np=CCn=Cs.
n+k·n!n+kCC例從數字,,…,中可重複地任取n次,每次取一個數,求n次所取的數的乘積6129能被整除的概率.
10解因為每次取數可取到,,…,九個數中任意一個(有種取法),所以n次取數1299不同的取法有n種,每種取法為一個樣本點,各樣本點的出現是等可能的.
9設A為事件“取得的n個數的乘積能被整除”,B為事件“取得的n個數中至少有10一個是”,C為事件“取得的n個數中至少有一個是偶數”.