5注意,n次取得的數的乘積能被整除,相當於取得的n個數中至少有一個是,並105且至少有一個是偶數,即A=BC,從而所求的概率為P(A)=P(BC)=-P(BC)=-P(B(C)11∪=-[P(B)+P(C)-P(BC)].
1若各次取數都沒有取到,則每次隻能從除以外的個數字中取(有種取法),n次5588取數有n種不同取法,即B包含n個樣本點.
88同理,C包含n個樣本點,BC包含n個樣本點,於是得到54nnnP(B)=8,P(C)=5,P(BC)=4.
nnn999故所求概率為7
n+n-nP(A)=-854.
1n9
例將一枚骰子重複擲n次,試求擲出最大點數為的概率.
75解擲一次骰子有種不同的結果,擲n次就有n種不同結果,每一種結果為一樣本66點.
設A表示事件“擲出的最大點數為”,Ak表示事件“恰有k次擲出的點數是,其他55各次擲出的點數小於”,k=,,…,n,則512n
A=Ak.
k=∪1指定某k次擲出的點數是,其他各次擲出的點數小於,有n-k種不同結果.由於指554kkn-k定方式有n種,所以Ak包含n·個樣本點.故得Ak的概率為CC4kn-kn·P(Ak)=C4,k=,,…,n.
n126
注意A,A,…,An是互不相容的,所以12nnnnkn-k-P(A)=P(Ak)=1nn=5n4.
k=k=C4∑16∑16也可以直接求A包含的樣本點個數,再計算P(A).
因為n次擲出的點數都不大於,有n種不同的結果,而n次擲出的點數都不大於,554有n種不同的結果,所以n次擲出的最大點數為,有n-n種不同的結果,即A包含4554n-n個樣本點.故54n-nP(A)=5n4.
6例向正方形區域Ω={(p,q)||p|,|q|}中隨機投一點,如果(p,q)是8≤1≤1所投點M的坐標,試求:()方程x2+px+q=有兩個實根的概率;10()方程x2+px+q=有兩個正根的概率.
20解()由於方程x2+px+q=有兩個實根的充要條件是p2-q,因此事件104>0“方程x2+px+q=有兩個實根”可用區域0
A={(q,p)||p|,|q|,且p2-q}≤1≤14>0來表示.A是Ω的子集(圖-中的陰影部分).
12區域Ω的麵積為,即μ(Ω)=;441
區域A的麵積為+1p2dp=13,即μ(A)=13.
2-1466因為是幾何型隨機試驗∫,故所求概率為μ(A)P(A)==13.
μ(Ω)24()由於方程x2+px+q=有兩個正根的充分必要條件是p2-q,且p,204>0<08
q,所以事件“方程x2+px+q=有兩個正根”可用區域>00B={(p,q)||p|,|q|且p2-q,p,q}≤1≤14>00={(p,q)|q1p2,-p}0<<1≤<04
來表示.B是Ω的子集(圖-中的陰影部分).
13ｑｑｐ
－１Ｏ１ｐ－１Ｏ１－１－１圖１－２圖１－３0
因為區域B的麵積為1p2p=1,即μ(B)=1,故所求概率為-d141212∫μ(B)P(B)==1.
μ(Ω)48例隨機地向由y,|x|1所圍成的正方形內擲一點,點落在該正方形90<<1<2
內任何區域的概率與區域麵積成正比,求原點和該點的連線與x軸正向的夾角小於3π
4的概率.
分析這是一個幾何概率問題,通常可借助幾何上的度量(長度、麵積、體積或容積等)來合理地計算其概率.
ｙ解用S表示該正方形的麵積,S表示圖-114１陰影部分麵積,則所求的概率為-1(1)2S1p=1=22=7.
S18例(.)設A,B為隨機事件,且P(B)102006Ⅰ,(),則必有()PA|B=.１１>01－Ｏｘ()P(AB)P(A).２２A∪>()P(AB)P(B).圖１－４B∪>()P(AB)=P(A).
C∪9
()P(AB)=P(B).
D∪解=P(A|B)=P(AB)\/P(B)P(AB)=P(B),1?
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A).
∪故正確選項為().
C例某住宅樓共有三個孩子,已知其中至少有一個是女孩,求至少有一個是男孩11的概率(假設一個小孩為男或為女是等可能的).
分析在已知“至少有一個是女孩”的條件下求“至少有一個是男孩”的概率,所以是P(AB)條件概率問題.根據公式P(B|A)=,必須求出P(AB),P(A).
P(A)解設A={至少有一個女孩},B={至少有一個男孩},則A={三個全是男孩},B={三個全是女孩},於是P(A)=1=1=P(B),事件AB為“至少有一個女孩且至少有一3
28個男孩”,因為AB=AB,且AB=,所以∪
P(AB)=-P(AB)=-P(AB)11∪=-[P(A)+P(B)]=-(1+1)=3,11884P(A)=-P(A)=7,1
8從而,在已知至少有一個為女孩的條件下,求至少有一個是男孩的概率為3
P(AB)P(B|A)==4=6.
P(A)778
例抽球問題:在此分四種情形,基本事件總數見下表.
12抽球方式不同抽法總數計序nm從n個可分辨有放回mm不計序n+m-=n球中抽取m球C1Hm
計序n無放回Am
不計序nC
例-某課程複試時,有張考簽,個考生應試,一個人抽一張看後立即放回,12133再讓另一個人抽,如此個人各抽一次,試求抽簽結束後,至少有一張考簽沒有被抽到的3
概率.
解設Ai={第i張考簽沒被抽到},i=,,;A={至少有一張考簽沒被抽到}.故123A=AAA,而1∪2∪33
P(Ai)=2=8,i=,,,312332710P(AiAj)=1=1,ij,i,j=,,,3≠123327所以P(A)=8+8+8-1-1-1=72727272727279或
××P(A)=-P(A)=-321=21=7.
1127279例-袋中裝有顏色分別為紅、白、黑的個球,有放回不按序抽取,試問從袋中1223任意取出兩個不同顏色的球的概率是多少?
解樣本空間的基本事件總數為2=2+-=.A={取到兩個不同顏色球},則AH3C3216含有2=個基本事件,故C3322P(A)=C3=C3=1.
22H3C42例()設A,B為隨機事件,若P(A),P(B),則P(AB)1320170<<10
()P(BA)P(BA)()P(BA)P(BA)A>BD<解選()A.
P(AB)P(AB)P(A)-P(AB)由已知P(AB)=P(AB)==,P(B)>()-P(B)PB1得P(AB)P(A)P(B),>
P(AB)P(BA)P(B)-P(AB)而由P(BA)=P(BA)==,P(A)>()-P(A)PA1也得P(AB)P(A)P(B).
>則()選項符合題意.
A例一批一等小麥種子中混有%的二等種子、.%的三等種子、%的四等種142151子,用一、二、三、四等種子長出的穗含顆以上麥粒的概率分別是.,.,.,.,求500501501005這批種子所結的穗有顆以上麥粒的概率.
50解設A表示事件“從該批種子中任選一顆種子所結的穗含有顆以上麥粒”,50Bi(i=,,,)表示事件“任選的一顆種子是i等種子”,則1234P(B)=-.-.-.=.,1100200150010955P(B)=.,P(B)=.,P(B)=.,2002300154001P(A|B)=.,P(A|B)=.,1052015P(A|B)=.,P(A|B)=.,30140054
且B,B,B,B互不相容,Bi=Ω,由全概率公式得所求的概率為1234i=∪1114
P(A)=P(Bi)P(A|Bi)i=∑1=.×.+.×.+.×.+.×.
095505002015001501001005=..
04825例乒乓球盒中有隻球,其中隻是沒有用過的新球.第一次比賽時任取隻使151593用,用後放回.第二次比賽時也任取隻球,求此隻球全是沒有用過的新球的概率.
33解設A表示事件“第二次比賽時取出的隻球全是沒有用過的新球”,Bi表示事件3
“第一次比賽時用了i個新球”,i=,,,,則0123i-i3
96P(Bi)=CC,i=,,,,30123C153-i9