現在:養老年金給付本息總和現值-機構業務成本現值=目前房產評估價值(1)到期:到期養老年金給付本息總和-機構業務成本=到期房產餘存總價值(2)在兩個計算公式中,公式(1)是從現在的角度來看,金融機構開辦本業務,應當考慮的各項因素的目前狀況,並據以計算每期應向老年人支付房款的數額;公式(2)則是從到期的角度看,業務最終終結時向老年人給付房款的總價值,與金融機構可實際獲得住房的價值相比後得到結果。
公式(1)中,“養老年金給付本息總和現值”是指在整個預期給付期間給付的養老金總和的現值;“機構業務成本”則是指業務開辦機構開辦此項業務所需要付出的額外代價(鑒於本業務的複雜,聯係麵的眾多,它將比正常的抵押貸款要付出更多的費用);“目前房產評估價值”是指在目前金融機構受理住房抵押業務時,房產的評估價值。
公式(2)中,“到期養老年金給付本息總和”則是指業務開辦機構在老人餘生的漫長時期裏,向該老年人每期支付房款的本金與利息的到期總值;“到期房產總價值”則是指所抵押房產在本業務到期,或者說該老年人最終死亡時尚存留的,可以由業務開辦機構接手並據以抵補前期用費的價值。這一公式顯然是從業務結束、“蓋棺論定”時所需要得出最終結果的計算公式。
我們將定價模型分為養老金核算及房產價值評估兩部分,以下分別予以說明。
(二)養老金核算
反向抵押貸款定價模型中的養老金核算,可采用目前壽險精算中生存年金躉繳純保費的計算原理。養老金給付以年金受領人生存為條件,於每年年末支付依當年通貨膨脹率調整的年金。設y 為每年末實際支付的固定年金,P(y) 為實際年金現值總和,兩者關係如下:
P(y)=Σ105-a0t=0e-rt·y·pa0+ta0其中,a0為反向抵押貸款合同生效時的年齡;t表示申請人在合同生效後存活的時間;pa0+ta0表示a0歲的人在(a0+t)歲時仍然存活的概率,因為根據《中國人壽保險業經驗生命表(2000-2003)》,人在105歲時死亡的概率為1,所以t 的取值為[0,105-a0]。
(三)房產價值評估中的諸多假設
房產價值包括地表建築物價值和所占地皮價值兩部分。
假設1:本模型中所有的價值變量均使用扣除通貨膨脹因素後的實際價值。
86 假設2:地表建築的價值依賴於狀態變量X(t),並以固定折舊率d 以指數的速度進行折舊,即X(t)=x0e-dt,其中,x0=X(0),d>0,x(t)≥0。第0期表示養老者辦理反向抵押貸款業務期始。
假設3:曆年的房屋價值要以無風險的實際利率r 折現,r>0。
假設4:地表建築物可以在任意需要的時期予以拆除,但不能在原址重新建造。
房屋拆除後,房產剩餘價值隻有所占土地的價值,該土地可以出賣。土地價值與房屋拆除期的地表建築物的價值的狀態變量X(t),呈現獨立。
假設5:土地價值為L(t),滿足幾何布朗運動,即dL=μL dt+σL dW。其中,μ 為恒定的漂移係數,σ 為恒定的擴散係數,dW 是隨機變量,服從標準正態分布,兩個係數可從對土地價值曆史數據的回歸分析中得到。
房產所有人的目標是選擇適當的時間T(一般為60歲退休,並需要從住房中釋放出部分價值來彌補養老金不足時開始),向特定金融機構或特設業務開辦機構抵押地表建築物(土地在我國歸由國家所有,私自出售土地則不被允許),以從房產中獲得最大限度的價值(包括地表建築的折現及餘留土地的價值)來滿足養老使用。
最優化策略應解決以下目標的利潤最大化問題:
V(x)=sTu≥ pt0∫T
t0e-rt(xe-dt)dt+e-rT L,令G(T,L)=∫T
t0e-rt(xe-dt)dt+e-rT L
其中,t0為養老者死亡期的預期值。t0=a0+痹ea0(痹ea0為a0歲的平均餘壽,可從生命表中查得)。在動態優化的模型中,如房主決定永久性地維持地表建築物,則T=+∞(但有住宅實際使用期限的限製,這裏假定當住宅使用日久報廢時重新建造新的住宅)。V(x)表示房產初始價值為x 時的最優化的房產價值。