摘要 反向抵押貸款是以房養老的金融工具，對反向抵押貸款進行科學合理的定價，是引入並開發出具有我國鄉土特點的反向抵押貸款產品的基礎。本文以有贖回權的反向抵押貸款為例，利用期權定價方法，建立了反向抵押貸款的期權定價模型和產品定價模型，並利用北京地區的數據資料，進行了實證分析。結果表明，有贖回權的反向抵押貸款隱含了歐式看跌期權，利用期權方法進行定價具有可行性和合理性。
關鍵詞 反向抵押貸款 期權 定價 贖回權
一、引言
產品定價是我國發展反向抵押貸款成功與否的關鍵。所謂反向抵押貸款的產品定價，是指在借款人年齡、住房價值、貸款基準利率等參數給定的條件下，通過一定的產品定價方法，確定貸款額度或房屋抵押率（貸款額度的現值與住房價值之比）的過程。如果產品定價過低，那麼申請人得到的貸款數額過少，申請人將失去興趣，反向抵押貸款麵臨著需求不足的問題。反之，如果產品定價過高，則貸款機構麵臨著到期後貸款收不回來的風險，這項業務可能出現虧損，那麼貸款機構將缺乏積極性。因此，反向抵押貸款如何定價，如何定得合理，是一個迫切需要研究解決的問題。
反向抵押貸款產品的種類不同，產品定價方式和結果也不同。在反向抵押貸款合約到期時，按照借款人是否可以將住房的抵押權贖回，可以分為兩類：一類是無贖回權的反向抵押貸款產品，另一類是有贖回權的反向抵押貸款產品。對於無贖回權的反向抵押貸款產品，在貸款期限結束後，住房將由貸款機構收回處理，相當於終生生存年金，可采用保險精算的方法進行定價。
對於有贖回權的反向抵押貸款產品，由於借款人存在選擇權，大數定律失去作用，保險精算方法不再適用。如何界定選擇權，並把這種選擇權與產品定價結合起來？本文欲在這方麵做一些探索。
二、有贖回權反向抵押貸款的性質與定價思路
（一）有贖回權反向抵押貸款的產品性質
所謂贖回權，是指在反向抵押貸款合約到期後，借款人或其繼承人可以通過償還貸款本息，將住房的抵押權收回，從而結束貸款。也就是說，對於有贖回權的反向抵押貸款，當貸款期限結束時（一般為房主死亡），還款人（借款人或借款人的繼承人）麵臨著兩種選擇：一是由還款人將反向抵押貸款的本息總額還清，從而把住房的抵押權收回，住房歸其繼承人所有；二是住房由貸款機構收回，繼而拍賣出售，出售額歸貸款機構所有。如果出售額小於貸款本息餘額，根據無追索權條款，貸款機構無權向借款人或其繼承人追討不足部分。這樣，理性的借款人就有了一種選擇權：在貸款期限結束時，如果住房價值大於貸款本息總額，就會選擇將抵押權贖回，差額歸借款人所有；如果住房價值小於貸款本息總額，就會選擇將住房交由貸款機構處理。這種選擇權就是期權。由於期權的存在，使得有贖回權的反向抵押貸款的產品性質與無贖回權產品相比，發生了重大變化。相應地，它的定價方法也有質的不同。
（二）有贖回權反向抵押貸款的定價思路
按照期權理論，對於看漲期權來說，隻有當標的資產的市場價格高於執行價格時，期權的買方才有收益；當標的資產的市場價格小於或等於執行價格時，買方並無損失。對於看跌期權來說，隻有當標的資產的市場價格小於執行價格時，期權的買方才有收益；當標的資產的市場價格大於或等於執行價格時，買方並無損失。
具體到反向抵押貸款產品來說，當貸款期限結束時，貸款本息總額（S）是一定的，相當於標的資產的執行價格（X）。住房的未來價值（HT）隨市場環境變化，可以看成是不確定的，它相當於標的資產的市場價格（ST）。當住房的未來價值（HT）低於貸款本息總額（S）時，借款人可以讓貸款機構將住房收回，從而少償還兩者的差額（S－HT），相當於借款人獲得了數額為（S－HT）的收益；當住房的未來價值高於或等於貸款本息總額（S）時，借款人可以將貸款本息總額（S）還清，從而將住房的抵押權贖回，借款人並未因此受到損失，也即借款人的收益為0。用公式表示為：
10 0借款人的收益＝
S－HT，若HT＜S
0， 若HT≥S
將借款人的收益與不同種類的期權買方的收益對比，可以看出，借款人相當於購買了一個看跌期權。由於期權的執行要等到貸款到期才可，所以這種期權為歐式期權。綜合起來，有贖回權的反向抵押貸款產品隱含了一個歐式看跌期權。
當然，借款人獲得上述收益並不是無代價的，其代價就是要向期權的賣方（貸款機構）繳納一定金額的期權費。但期權費的形式並不是一筆固定金額的現金，而是在正常的無風險貸款利率基礎上，附加一定比例的利率，也即借款人要付出比一般抵押貸款利率高一些的利率。這樣，對有贖回權反向抵押貸款進行定價，就是通過期權定價的方法，確定期權費的大小和利率的變化值。
三、有贖回權反向抵押貸款的定價模型
由前麵的分析可知，有贖回權的反向抵押貸款具有歐式看跌期權的性質。為給有贖回權產品定價，首先要對期權進行定價，然後將期權價值按一定模式攤入反向抵押貸款的貸款利率中。
（一）反向抵押貸款的期權定價模型
給期權進行合理的定價是期權交易的核心問題。常用的期權定價方法有Black－Scholes 期權定價模型和二項式模型，其中前者在較嚴格的假設條件下，可得到歐式看跌期權的精確定價。用公式表示為：
P＝Xe－r（T－t）［1－N（d2）］－St［1－N（d1）］（1）
其中：d1＝ln（St／X）＋（r＋σ2／2）（T－t）