關於球體體積的計算,是祖衝之及其兒子祖(日桓)在數學方麵又一項了不起的成就。祖氏父子根據劉徽在“九章算術注”中擔出的正確方法,求得了球體體積公式
球體積=4/3πγ3。
在導出球體積公式的過程中,祖氏父子總結出了所謂的“祖氏原理”。在西方這一原理被稱為“卡瓦列裏原理”,但它的發現者意大利數學家卡瓦列裏(1598~1647)比祖氏父子要晚1100多年。
祖衝之在天文曆法方麵的成就,大都包含在他所編製的大明曆和為大明曆所寫的“駁議”中。祖衝之通過精密的觀察測量,發現當時奉行的由前輩著名天文學家何承天所編製的元嘉曆有不少錯誤,於是著手編製大明曆,公元462年編成,時年隻有33歲。祖衝之對曆法的編製做出了很多創造性的貢獻,大明曆是這個時代一部最好的曆法,但是卻遭到皇旁寵臣的反對。直到祖衝之死後10年,由於他兒子祖(日桓)的堅決請求,經過實際天象的校驗,大明曆才得以正式頒行。
《大明曆》的主要成就如下:
區分了回歸年和恒星年,首次把歲差引進曆法,測得歲差為45年11月差一度(今測約為70.7年差一度)。歲差的引入是中國曆法史上的重大進步。
定一個回歸年為365.24281481日(今測為365.24219878日),直到南宋寧宗慶元五年(公元1199年)楊忠輔製統天曆以前,它一直是最精確的數據。
采用391年置144閏的新閏周,比以往曆法采用的19年置7閏的閏周更加精密。
定交點月日數為27.21223日(今測為27.21222日)。交點月日數的精確測得使得準確的日月食預報成為可能,祖衝之曾用大明曆推算了從元嘉十三年(公元436年)到大明三年(公元459年),23年間發生的4次月食時間,結果與實際完全符合。
得出木星每84年超辰一次的結論,即定木星公轉周期為11.858年(今測為11.862年)。
給出了更精確的五星會合周期,其中水星和木星的會合周期也接近現代的數值。
提出了用圭表測量正午太陽影長以定冬至時刻的方法。
為紀念這位偉大的古代科學家,人們將月球背麵的一座環形山命名為祖衝之環形山,將小行星1888命名為祖衝之小行星。
我國古代勞動人民,由於畜牧業和農業生產的需要,經過長時期的觀察,發現了日月運行的基本規律。他們把第一次月圓或月缺到第二次月圓或月缺的一段時間規定為一個月,每個月是二十九天多一點,十二個月稱為一年。這種計年方法叫做陰曆。
他們又觀察到:從第一個冬至到下一個冬至(實際上就是地球圍繞太陽運行一周的時間)共需要三百六十五天又四分之一天,於是也把這一段時間稱作一年。按照這種辦法推算的曆法通常叫做陽曆。但是,陰曆一年和陽曆一年的天數,並不恰好相等。按照陰曆計算,一年共計三百五十四天;按照陽曆計算,一年應為三百六十五天五小時四十八分四十六秒。陰曆一年比陽曆一年要少十一天多。為了使這兩種曆法的天數一致起來,就必須想辦法調整陰曆一年的天數。
對於這個問題,我們的祖先很早就找到了解決的辦法,就是采用“閏月”的辦法。在若幹年內安排一個閏年,在每個閏年中加入一個閏月。每逢閏年,一年就有十三個月。由於采用了這種閏年的辦法,陰曆年和陽曆年就比較符合了。
在古代,中國曆法家一向把十九年定為計算閏年的單位,稱為“一章”,在每一章裏有七個閏年。也就是說,在十九個年頭中,要有七個年頭是十三個月。這種閏法一直采用了一千多年,不過它還不夠周密、精確。
公元412年,北涼趙厞創作《元始曆》,才打破了歲章的限製,規定在六百年中間插入二百二十一個閏月。可惜趙厞的改革沒有引起當時人的注意,例如著名曆算家何承天在公元443年製作《元嘉曆》時,還是采用十九年七間的古法。
祖衝之吸取了趙厞的先進理論,加上他自己的觀察,認為十九年七閏的閏數過多,每二百年就要差一天,而趙厞六百年二百二十一闖的閏數卻又嫌稍稀,也不十分精密。因此,他提出了三百九十一年內一百四十四閏的新閏法。這個閏法在當時算是最精密的了。
根據物理學原理,剛體在旋轉運動時,假如絲毫不受外力的影響,旋轉的方向和速度應該是一致的;如果受了外力影響,它的旋轉速度就要發生周期性的變化。地球就是一個表麵凹凸不平、形狀不規則的剛體,在運行時常受其他星球吸引力的影響,因而旋轉的速度總要發生一些周期性的變化,不可能是絕對均勻一致的。
因此,每年太陽運行一周(實際上是地球繞太陽運行一周),不可能完全回到上一年的冬至點上,總要相差一個微小距離。按現在天文學家的精確計算,大約每年相差50.2秒,每七十一年八個月向後移一度。這種現象叫作歲差。
隨著天文學的逐漸發展,中國古代科學家們漸漸發現了歲差的現象。西漢的鄧平、東漢的劉歆、賈逵等人都曾觀測出冬至點後移的現象,不過他們都還沒有明確地指出歲差的存在。到東晉初年,天文學家虞喜才開始肯定歲差現象的存在,並且首先主張在曆法中引入歲差。他給歲差提出了第一個數據,算出冬至日每五十年退後一度。後來到南朝宋的初年,何承天認為歲差每一百年差一度,但是他在他所製定的《元嘉曆》中並沒有應用歲差。
祖衝之繼承了前人的科學研究成果,不但證實了歲差現象的存在,算出歲差是每四十五年十一個月後退一度,而且在他製作的《大明曆》中應用了歲差。因為他所根據的天文史料都還是不夠準確的,所以他提出的數據自然也不可能十分準確。盡管如此,祖衝之把歲差應用到曆法中,在天文曆法史上卻是一個創舉,為我國曆法的改進揭開了新的一頁。到了隋朝以後,歲差已為很多曆法家所重視了,象隋朝的《大業曆》、《皇極曆》中都應用了歲差。
所謂交點月,就是月亮連續兩次經過“黃道”和“白道”的交叉點,前後相隔的時間。黃道是指我們在地球上的人看到的太陽運行的軌道,白道是我們在地球上的人看到的月亮運行的軌道。交點月的日數是可以推算得出來的。祖衝之測得的交點月的日數是27.21223日,比過去天文學家測得的要精密得多,同近代天文學家所測得的交點月的日數27.21222日已極為近似。在當時天文學的水平下,祖衝之能得到這樣精密的數字,成績實在驚人。