數學是什麼
作為一個現代人，不知道“數學”的人恐怕不多，但能將數學是什麼解釋得很清楚的人恐怕也不是很多。其實，即使作為專業的數學工作者，由於各自的經曆和所持觀點的不同，對數學是什麼的回答也有相當大的差異。
1．數學是係統化了的常識
這是國際著名數學家和數學教育家漢斯·弗賴登塔爾（HansFreudenthal）的觀點。他認為數學的根源是普通常識，作為常識的數學隨著語言，從說話到閱讀和寫作的進步與發展，數學也不斷地擴展著。如數概念的獲得，主要是由口頭語言中相應的數詞來支持的（如一個人、一支筆……得到“1”），在這個過程中，首先是數學思想的語言表達。
普通常識是有等級的，普通常識由經驗上升成規律後，這些規律再次成為普通常識，即較高層次的常識。弗賴登塔爾曾經說過，“為了真正的數學及其進步，普通的常識必須要係統化和組織化。如同以前一樣，普通常識的經驗被結合成為規律（比如加法的交換律），並且這些規律再次成為普通的常識，即較高層次的常識，作為更高層次數學的基礎——一個巨大的等級體係，是由於非凡的相互影響的力量來建立的。”
2．數學是人為規定的一套語言、符號係統
這是部分數學史家們的看法。持這種觀點的人雖然不多，但很有代表性，它給了我們認識數學是什麼的一個新角度。翻開一部數學史，除了早期的數學與生活有著非常高的關聯度，還需借助現實的生活事實去解釋外，後來數學就越來越關注自己的“語言、符號”了。這種現象最早可追溯到歐幾裏得的《幾何原本》，到了現代，數學的這種特性表現得更加充分。
當然，數學作為人為規定的一套語言、符號係統，必須要有一定的條件。通俗點講，就是這套語言、符號係統必須能自圓其說，高雅點講，這套係統必須是完備的。舉例來說，如果你規定1+1=3，在此基礎上去構造一套語言、符號係統，並且能自圓其說，也許一個新的數學分支就誕生了。數學史上不乏這樣的先例。如伽羅瓦的群論，康托爾的集合論等等，當初他們出現在數學家們的眼前時，並不為大家所認可。但事實證明，這些是數學，而且是非常重要的數學內容。由於康托爾的集合論在自圓其說方麵有一點小小的問題，從而導致了曆史上的一次嚴重的數學危機。隨著這一危機的解決，集合論變得更完備，數學的基礎變得更加穩固。集合論的創立是數學史上的一個巨大成就，以至於今天的小學數學教學中，都必須滲透集合論的思想，從而提高學生的數學認知能力。
3．數學是確定無疑的絕對真理
這是數學家及部分數學哲學家們的觀點。對於他們而言，任何知識都可能出錯，唯獨隻有數學是不會出錯的，是可靠知識的唯一代表。在他們看來，演繹法為數學知識是絕對真理提供了保證。首先，數學證明中的基本陳述視其為真，數學公理假定為真，數學定義令其為真，邏輯公理認其為真。其次，邏輯推理規則保持真理性即隻承認由真理推導出來真理。以上述兩個事實為基礎，可知演繹證明中的每個陳述包括它的結論都為真。於是，“由於數學定理都是由演繹證明所確定，因此它們都是可靠真理。這就形成了許多哲學家所斷言的數學真理就是可靠真理的基礎。”
在這種觀點之下，如果數學出現了矛盾或問題，那不是數學本身的錯，而是人們的認識還未到達相應的境界，數學家和哲學家們會想辦法去解決這些矛盾和問題，解決矛盾和問題的過程本身又促進了數學的發展。如無限不循環小數的出現，對於古希臘的數學家們來說，猶如晴天霹靂，而將其稱為“無理數”。然而，正是為了使“無理”變得“有理”，數概念的範圍從有理數擴展到了實數，促進了數學的發展。後來為了解決函數論和集合論中的一些矛盾，數學哲學也得到了較大發展，形成了邏輯主義、形式主義和構造主義（包括直覺主義）三大學派。