第一章
代數之父
16世紀末，法國在同西班牙的戰爭中，西班牙依仗著密碼，在法國境內秘密地自由通訊，交通情報，結果使法軍連連敗退。法國國王請來當時很有名望的數學大師韋達進行幫助，韋達借助數學知識，成功地破譯了一份西班牙的數百字的密碼，從而使法國隻用兩年時間就打敗了西班牙，韋達在這次戰爭中立了大功。但是，西班國王菲力普二世向教皇控告說，法國人在對付西班牙時采用了魔術。於是，西班牙宗教裁判所，以韋達背叛上帝的罪名進行缺席判決，要將韋達處以焚燒的極刑。當然，宗教的野蠻刑法未能實現，韋達於1603年12月13日在巴黎逝世，終年63歲。韋達死後，人們譽他為“代數之父”。
韋達於1540年生在法國的豐特內，本名叫佛蘭西斯·韋埃特。韋達是他的拉丁名字。他的專業是學律師的，曾任過布列塔尼議會議員、那瓦爾的亨利親王的樞密顧問官。他對天文學、數學有著濃厚的興趣，經常利用業餘時間研究數學。1584年到1589年，由於他在政治上處於反對派地位，被免去了官職。從此，他便專心致力於數學的研究。
在從政期間，韋達研究丟番圖、塔爾塔利亞、卡爾丹諾、邦別利、斯提文等人的著作。他從這些名家，特別是從丟番圖那裏，獲得了使用字母的想法。
在韋達之前的一些大學者，包括歐幾裏得、亞裏斯多德在內，雖曾用字母代替過特定的數，但他們的用法不是經常的、係統的。韋達是第一個有意識地、係統地使用字母代替數進行數學運算的人。他不僅用字母表示未知量和未知量的乘冪，而且還用來表示一般係數。通常，他用輔音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他的做法是劃時代的，從而奠定了代數學的基礎，對代數的國際通用語言的形成起到了極為重要的作用。
1591年，韋達出版了他的代數學專著《分析方法入門》，這是曆史上第一部符號代數學。它明確了“類的算術”和“數的算術”的區別，即代數與算術的分界線。
據載，韋達還以他精湛的數學知識，為國家贏得了榮譽。
當時，比利時有一位數學家，名叫羅梅紐斯，深受國王推崇，國民也深感自豪和驕傲。一次，比利時的大使向法國國王亨利四世誇口道：“你們法國還沒有一個數學家能解開我國數學家羅梅紐斯的一個關於45次方程的求根問題。”原來，這道45次方程是羅梅紐斯於1573年在他的《數學思想》一書提出來的。
麵對比利時的挑戰，亨利四世決定在國內挑選數學家來解開此題，以長國威。誰知找了不少數學教授都找不到答案，國王心裏十分煩悶，如同喪權辱國一般。
一天，國王將此題給韋達看，韋達說：“一個相當簡單的問題，我馬上就能給出正確答案。”因為韋達看出，這個方程是依賴於sin45θ與sinθ之間的關係，所以幾分鍾內就求出了兩個根。國王見了答案，高興地說道：“韋達是我國乃至全世界最偉大的數學家。”接著便賞給韋達500法郎。
韋達生前寫出不少著作，但多數沒有出版發行。有一部《論方程的整理與修改》，是在他去世12年後才出版的。在書中，韋達把5次以內的多項式係數表示成其根的對稱函數。他還提出了4個定理，清楚地說明了方程的根與其各項係數之間的關係——即韋達定理。此定理至今仍在使用。他還為一元三次方程、四次方提供了可靠的解法，為後來利用高等函數求解高次代數方程開辟了新的道路。
另外，韋達利用歐幾裏得的《幾何原本》第一個提出了無窮等比級數的求和公式，發現了正切定律、正弦差公式、純角球麵三角形的餘弦定理等。韋達利用代數法分析幾何問題的思想，正是後來的數學家笛卡爾解析幾何思想的出發點。笛卡爾說他是繼承韋達的事業。
直到1646年，韋達死後的40多年之後，他的全部著作才由荷蘭數學家範·施庫騰等人整理成書，名為《韋達全集》。
解析幾何的問世
1617年，荷蘭奧倫治公爵的軍隊裏來了一名22歲的博士生，他就是偉大的數學家笛卡爾。
一天，部隊開到布雷達城，無所事事的笛卡爾漫步在大街上，忽然看見一群人圍在一起議論紛紛，原來在一堵牆上貼著一張幾何難題的懸賞啟事。啟事上說，誰能夠解開此題誰就能獲得本城最優秀的數學家稱號。笛卡爾出於好奇心抄下題目，回到軍營，專心致誌地研究這道幾何難題。經過潛心鑽研，兩天後，他終於求得了答案，由此使他數學天才初露鋒芒。
荷蘭多特學院院長畢克曼十分賞識笛卡爾的才華，勸他說：“你有深厚的數學基礎，才思敏捷，很適合數學研究。離開軍隊吧，我相信你將來會成功的。”
笛卡爾沒有離開軍隊，但仍然迷戀數學，尤其想碰一碰古希臘幾何三大問題。說起這三大問題，還有一個很古老的傳說：
大約是2300多年前，古希臘的第羅斯島上，一場可怕的瘟疫正在蔓延，人們生活在死亡的恐怖之中。他們來到神廟前祈求：“萬能的神啊，請賜予我們平安吧！”誰知神廟裏的主人欺騙這些可憐的人們說：“我忠實的信徒們，神在保佑著你們，隻要你們把上供的正方體祭壇，在不改變原來形狀的情況下，把它的體積增大到原來的兩倍，神就會高興，就能免除你們的災難。”
瀕於死亡的人們聽後立即去改造神的祭壇，他們把祭壇的每邊棱長擴充到原來的兩倍。但神廟的主人看後說：“這哪裏是原來的兩倍，這是原來的八倍了。神不高興啊！”
人們聽後趕忙拆了重建，他們把體積改成了原來的兩倍，可形狀卻是一個長方體。神廟的主人訓斥道：“該死的信徒們，你們怎麼把祭壇的形狀改變了呢，這不是戲弄神嗎？當心還有更大的瘟疫！”
驚慌失措的人們急忙去找著名的學者柏拉圖，把希望寄托在這位大智者的身上。誰知柏拉圖和他的學生們無論怎麼用直尺和圓規去畫，也同樣找不到正確的辦法，於是，立方倍積問題便成了一道幾何難題。
後來，希臘人又碰到了把一個已知角分成三等分和化圓為方問題（即求一個正方形，使它的麵積等於一個已知圓的麵積）。
從此，立方倍積、三等分角、化圓為方這三個問題一直困擾著世世代代的數學家，不少人為此嘔心瀝血，窮畢生精力也找不到答案。這樣一直延續了2000年。
笛卡爾認真總結前人的大量經驗教訓後猜想，古希臘三大幾何難題，采用尺和規作圖的辦法。是不是本來就作不出呢？應該另找一條道路才是。
1621年，笛卡爾退出軍界，與數學家邁多治等朋友來到巴黎，潛心研究數學問題。1628年，他又移居資產階級革命已經成功的荷蘭，進行長達20年的研究。這是他一生最輝煌的時期。
一天，疲憊不堪的笛卡爾躺在床上，望著天花板思考著數學問題。突然，他眼前一亮，原來，天花板上有一隻蜘蛛正忙碌地編織著蛛網。那縱橫交錯的直線和四周的圓線相交叉一下子啟發了他。困擾他多年的“形”和“數”問題，終於找到了答案。他興奮地爬了起來，迫不及待地把靈感描繪出來。他發現了這樣的規律，如果在平麵上畫出兩條交叉的直線，假定這兩條直線互成直角，那麼就出現四個90度的直角。在這四個角的任一個點上設個位置，就可以建立起點的坐標係。
這個發現的基本概念簡單到近乎一目了然，但卻是數學上的偉大發現。它就是建立了平麵上點的作為坐標的數（x、y）之間一對應關係。進一步構成了平麵上點與平麵上曲線之間的一對應關係。從而把數學的兩大形態——形與數結合了起來。不僅如此，笛卡爾還用代數方程描述幾何圖形，用幾何圖形表示代數方程的計算結果。於是，創造出了用代數方法解幾何問題的一門嶄新學科——解析幾何。
解析幾何的誕生，改變了從古希臘以來，延續兩千年的代數與幾何分離的趨向，從而推動了數學的巨大發展。雖然，笛卡爾在有生之年沒有解開古希臘三大幾何問題，但他開創的解析幾何卻給後人提供了一把鑰匙。