解析幾何的重大貢獻，還在於它提供了當時科學發展迫切需要的數學工具。17世紀資本主義迅速發展，天文和航海等科學技術對數學提出了新的要求。例如，要確定船隻在海上的位置，就要確定經緯度；要改善槍炮的性能，就要精確地掌握拋射體的運行規律。所有這些，涉及到的已不是常量而是變量。
和牛頓比肩的數學家
1684年，《學術學報》上發表了德國數學家萊布尼茨的一篇文章，宣布他發現一種微分法，即“一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算”，1686年，他又發表了類似的文章，討論“潛在的幾何與分析不可分和無限”等。一年以後，物理學家牛頓出版了他的巨著《自然哲學之數學原理》，也談到了他研究的求極大與極小的問題。實際上，他們倆人都發現了微積分的數學原理。於是，就有關創立微積分的優先權問題，發生了一場激烈的爭論。遺憾的是，由於人們不明真相，使30多歲的萊布尼茨長期蒙受冤屈。1699年，瑞士數學家法蒂奧德迪利給皇家學會寫文章，說萊布尼茨的思想獲自牛頓。接著，不少科學家接踵而至，都說萊布尼茨不是發明者。薩維爾天文學教授凱爾，則指控萊布尼茨是剽切者。為此，萊布尼茨參與了爭論，辯白自己的冤枉。但沒有人相信他。1716年11月14日，萊布尼茨含冤逝世，朝廷竟不聞不問，教士們也借口說萊布尼茨是“無信仰者”而不予理睬。
直到萊布尼茨死後，英國皇家學會為牛頓和萊布尼茨發現微積分的優先權問題，專門成立了調查評判委員會。經過長期調查，終於弄清事實，委員會在《通訊》上宣布，牛頓的“流數術”和萊布尼茨的“無窮小算法”隻是名詞不同，實質上是一回事，他倆都是微積分的發明人。
原來事情是這樣的，1676年，牛頓在寫給萊布尼茨的信中，宣布了他的二項式定理，提出了根據流的方程求流數的問題。但在他們交換的信件中，牛頓卻隱瞞了確定極大值和極小值的方法，以及作切線的方法等。而萊布尼茨在給牛頓的回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法，並訴說了他的方法。這個方法與牛頓的方法幾乎沒有什麼兩樣。二者的區別是：牛頓主要是在力學研究的基礎上，運用幾何方法研究微積分；而萊布尼茨主要是在研究曲線和切線的麵積問題上，運用分析學方法引進微積分概念，得出運算法則。牛頓是在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高出一籌。但萊布尼茨的表達式采用的數學符號，既簡潔又準確地揭示出微分、積分的實質，遠遠優於牛頓。因此，他們二人發明微積分各有千秋。
萊布尼茨1646年6月21日出生於德國東部的萊比錫城。他的父親是哲學教授，但在他6歲時父親就過早去世了。然而，父親留下的大量藏書卻為萊布尼茨提供了豐富的知識源泉。
萊布尼茨8歲入學，少年時就可以用多種語言表達思想。15歲時考入有名的萊比錫大學，開始對數學發生興趣。1666年，萊布尼茨轉入紐倫堡的何爾道夫大學。這一年他發表了第一篇數學論文《論組合的藝術》，顯示了他的數學才華。這篇論文，正是近代數學的一個分支“數理邏輯”的先聲，他也因此成為數理邏輯的創始人。
大學畢業後，萊布尼茨獲得法學博士學位，投身外交界。1672年3月他作為大使出訪法國巴黎，為期4年。在巴黎工作之餘鑽研數學，結識了荷蘭數學家惠更斯。並利用業餘時間攻讀笛卡爾、費爾馬、帕斯卡等人的原著。為他步入數學王國的殿堂打下了堅實的基礎。
1676年，萊布尼茨到漢諾威，在那裏他博覽群書，創立了微積分的基本概念和運算方法，成就了他一生最偉大的發明。
萊布尼茨陸續創立了一些表示微積分的符號：dx表示微分，即拉丁文“differentia”的第一個字母，意為“分細”。∫表示積分，即拉丁文“summa”的第一個字母“s”拉長，意為“求和”。他創立的這些符號，為數學語言的規範化和獨立化起到了極為重要的推動作用。這些符號一直用到今天。
此外，萊布尼茨還提出了使用“函數”一詞，首次引進了“常量”，“變量”和“參變量”，確立了“坐標”、“縱坐標”的名稱。他對變分法的建立及在微分方程、微分幾何、某些特殊曲線（如懸鏈曲線）的研究上都做出了重大貢獻。
雙目失明者創造的“歐拉時代”
1707年4月15日，瑞士巴塞爾城附近的裏恩村，有一位叫保爾·歐拉的牧師家裏誕生了一個男孩，這就是後世稱其為“百科全書式的數學家”歐拉。
小歐拉自幼聰穎，7歲那年，父親把他送到巴塞爾神學校去學習神學。起初，他對上帝創世深信不疑。一次，他問老師：“天上有多少顆星？”老師答不出來，隻是說：“天上的星星都是上帝親手嵌上去的。”於是，小歐拉問：“既然上帝親手製作了星星，為什麼記不住它們的數目呢？”他對上帝的信仰開始動搖，也不專心聽課了。不久，學校開除了他。
父親保爾通數學，見兒子不願學神學，就開始向他傳授數學知識。小歐拉如魚得水，立刻入了迷。
1719年，歐拉12歲。父親為了考一考兒子的能力，正趕上家裏要修羊圈。於是，他給出了一個固定長度，讓歐拉圍成一個麵積最大的方形羊圈。歐拉想來想去，把它圍成了一個正方形。於是，小歐拉“巧圍羊圈”的故事不脛而走，被巴塞爾大學的著名數學教授伯努利約翰知道了。這位教授竟親自出城，找到歐拉的父親，說要保舉小歐拉去大學學數學。老歐拉卻說：“教授，我希望他將來是一位神學家，而不是數學家。”約翰說：“可你知道嗎，這孩子是個數學天才。如果你固執己見，會葬送這孩子的前程。”
在約翰教授的勸說下，老歐拉終於點頭了，13歲的小歐拉被巴塞爾大學破格收錄了。歐拉不負老師厚望，入學後勤奮好學，廣聞博覽，又善於獨立思考，不久就可以與那些年齡大的同學比肩。他的老師約翰則根據他的特點因材施教，循循善誘，每周六的下午都擠出時間為他個別輔導，使他的學業突飛猛進。17歲時，歐拉便成為巴塞爾大學第一位最年輕的碩士。1726年，歐拉發表了討論船桅最佳位置選擇的論文，榮獲巴黎科學院的獎金。
1727年，歐拉由丹尼爾推薦，受俄羅斯女王葉卡特琳娜的聘請，來到彼得堡科學院任院長，做丹尼爾的助手。1733年，丹尼爾回國，歐拉接替丹尼爾的工作，成為數學教授及彼得堡科學院的學部領導人。由於當時俄國統治集團長期陷入權力之爭，無心科學事業，科學院的生存岌岌可危。1733年至1741年，歐拉的工作條件相當艱苦。他的許多不朽著作，都是在“膝上坐著孩子，肩上趴著貓”的情況下寫出來的。歐拉還擔負著許多社會責任，如承擔菲諾運河的改造方案，宮廷排水設施的設計審定，為俄國學校編寫教材，幫助政府繪製地圖，製定度量衡標準，為氣象部門提供天文數據，協助建築單位進行設計結構的力學分析……由於他長期疲勞工作，又長期觀測太陽，使他的視力迅速衰退。1735年，年僅28歲的歐拉右眼失明了。就在這時，有關“七橋問題”傳入彼得堡科學院，歐拉出於對數學的熱愛，又潛心研究起“七橋問題”。
“七橋問題”是古希臘人留下的一道難題。18世紀初，波羅的海沿岸的古城哥尼斯堡（今加裏寧格勒），普雷格爾河橫貫市區。這條河在市區內分成兩個支流，把奈發夫島截成兩段並把兩島環抱起來，形成了一個美妙的“8”字。有好事者根據古人的“七橋問題”，就在這裏建起了七座橋，把兩個小島和兩岸連接起來。（見圖一）
於是，這個問題直觀地擺在遊人麵前：一個人怎樣才能一次走過七座橋，而且每座橋隻經過一次，最後又回到出發點。
從此，無論是稚氣未退的少年還是白發蒼蒼的老者，都想試一試自己的智力。他們在這七座橋上穿來走去，但都沒有一個人能成功過。因此，這七座橋便很快地名揚歐洲，又把來一批批遊客。但是，又有多少年過去了，還是沒人成功。