第二章
玻洛漢姆橋上的數學發現
愛爾蘭的都柏林市有一座名叫玻洛漢姆的橋。至今，橋頭仍立著一塊石碑，碑文刻的是：“1843年10月16日，當威廉·哈密頓經過此橋時，他天才地發現了四元數的乘法基本公式。”人們經過這裏，都要駐足觀看碑文，緬懷哈密頓對科學的偉大貢獻。
哈密頓，1805年生於愛爾蘭首府都柏林。他的父親是一位律師兼商人，母親是名門小姐，父母都很有才華。但是，到他14歲時，雙親都不幸相繼去世。從此，他的叔叔詹姆士·哈密頓成了他的監護人。詹姆士是一位精通多種語言的專家，哈密頓從小就受其影響，在語言上得到了早期發展。正是早期的語言發展，提高了他的邏輯思維能力，為他在數學的成就奠定了基礎。
12歲時，哈密頓讀完了《幾何原本》，接著，又讀完了法國數學家克萊羅的《代數基礎》。13歲時，從美國來了一位數學神童。於是，兩位神童互相切磋，取長補短，使他在數學上的興趣大增。17歲時，哈密頓就掌握了微積分，並學會了計算日食和月食的數理天文學。18歲時，他參加了都柏林三一學院的入學考試，在100多名考生中，他以第一名的成績被錄取。
1827年，22歲的哈密頓大學還沒有畢業，就寫成了《光線係統理論》的論文。這篇論文為幾何光學的建立奠定了素材基礎，並且引入了所謂光學的物征函數。後來，哈密頓又對該論文作了三個補充，從數學理論推演出，在雙軸晶體中按某一特殊方向傳播的光線，將產生折射光線的一個圓錐。這個論點後來被光學實驗證實了。
當時學院裏有一位很有影響的天文學教授叫布瑞克萊，他十分欣賞哈密頓的才華。1827年，布瑞克萊宣布辭去都柏林三一學院天文學教授的職位。他極力推薦，並說服校方，年僅22歲的哈密頓大學還沒畢業，就成了布瑞克萊的繼承人，成為天文學教授。與此同時，哈密頓又榮獲了愛爾蘭皇家天文學家的稱號。
但是，哈密頓的誌向不在天文學上，他全力以赴地鑽研數學。1828年開始，他就著手研究四元數。四元數是實數、複數這個數係的發展，是超複數的一種，即屬於四維矢量。用現代術語來說，它是一個線性代數的組成部分。
然而，經過十幾年的苦心鑽研，哈密頓仍然沒有成功。1843年，已經是他研究四元數的15個年頭了。這年的10月16日黃昏，哈密頓的妻子見丈夫整日埋頭書堆，勞累不堪，於是費了好大勁才把他勸動，拉他外出散步。
當時秋高氣爽，景色宜人。哈密頓在妻子的陪同下，漫步在皇家護城河畔的林蔭道上。一陣陣秋風吹來，帶著成熟的果香。哈密頓貪婪地呼吸著河畔清新的空氣，不禁心曠神怡。他暫時忘了他醉心的數學題目，陶醉在大自然之中。
他們夫妻倆走上了玻洛漢姆橋，駐足橋上，望著暮色中的街景橋影，哈密頓的大腦思維突然再度活躍起來，閃光、跳蕩、尋覓、聯想……突然，他的思維大門一下子打開了，智慧的衝擊波衝破了以往的障礙束縛，他一下子悟出了四元數運算的奧秘。他立刻掏出隨身攜帶的筆記本，把他頭腦中閃光的要點迅速記錄下來。追求15年之久的四元數研究目標，終於在玻洛漢姆橋上找到了它的解法。哈密頓唯恐思路中斷，急忙拉起他的夫人往家裏跑去，這時，其他散步的男女老少都用奇異的目光看著這一對怪人。
回到家裏，哈密頓把自己關進書房，一連幾天不肯出來，甚至連飯都得讓人送進去。最後，他終於從數百頁演算紙裏，抄清出了一篇極有價值的論文。
1843年11月，哈密頓在愛爾蘭科學院宣布發現“四元數”，從而轟動了當時的數學界。四元數的發現，有力地推動了向量代數的發展。過去，複數理論隻可用於平麵向量，而空間向量問題則要用四元數向量部分來解決。哈密頓還把四元數引入微積分，定義了描述函數的數量或方向兩個方麵的變化的一係列概念。例如“梯度”、“旋量”等，成為研究物理學、工程學的重要計算工具。
10年之後，哈密頓寫成了《四元數講義》，並於1857年發表。當時著名的物理學家麥克斯韋正在研究電和磁，他苦於無法描述電磁運動及其變化規律。電和磁都是帶有方向性的量。要弄清電磁運動的規律，必須首先從數學方法上找到解決的途徑。麥克斯韋曾長期用複數向量處理，卻一直得不到正確結果。當哈密頓四元數問世後，終於使麥克斯韋走出困境，使他的電磁研究獲得了成功，並得出了“麥克斯韋方程組”，預言了電磁波的存在。
哈密頓深知四元數在科學上的重大意義。於是，在他生命的最後20多年中，一直傾注全力進行研究。他預感到，四元數的應用將在物理界引起巨大的變革。可惜的是，在這種變革沒有到來之際的1865年9月2日，他因為慢性酒精中毒而離開了人間，終年60歲。
領一代風騷的“數學王子”
1777年4月30日，德國的布倫瑞克城一個引水站站長家裏新生了一個男孩，他就是卡爾·弗裏德裏希·高斯，一位天才的數學家。
高斯從小聰明好學，對數學有著得天獨厚的天賦。3歲時，每當父親和其他大人們計算水的帳目時，他都在一旁聚精會神地聽著看著，對枯燥的數字有無限的興趣。有一次，當他的父親哥布哈德剛剛算完一筆支出帳，就聽小高斯說：“爸爸，這筆帳您算的不對！”
爸爸吃驚地看著3歲的小兒子，似信不信地把帳重算一遍。令他吃驚的是，自己算的帳真的錯了！但他心裏想：“這也許是一次巧合吧。”
後來，這種“巧合”越來越多，哥布哈德才知道他的兒子是個天才。由於生意場上的失意，老高斯漸漸地頹廢下去，時常用酒打發時光，他就把算帳的工作全部推給了不足10歲的小高斯。而小高斯不管帳目多麼繁瑣複雜，都能運算自如，表現出超常的計算能力。
讀小學時，小高斯特別迷戀算術課。一天，數學老師伯特納夾著手杖來上算術課，他對同學們說道：“現在給你們出一道題，請計算出從1到40所有數字的總和。誰做好了，就把答案送到我的講桌上來。”
於是，孩子們都埋頭書桌，教室裏鴉雀無聲。伯特納老師悠然自得地放下手杖，坐在講桌前看著這些孩子們。
誰知他剛剛坐穩，就見小高斯拿著練習本向他走來，輕鬆愉快地說：“老師，我做好了。”
伯特納心想，他做得這麼快，錯誤一定不少。便說：“放下吧！”心裏在想，等都交全了，我再教訓這個毛草而神氣十足的孩子。
過了許久，孩子們才把練習本全交上來，伯特納特意拿起最先交的高斯的練習本。他看了一會兒便驚呆了！隻見小高斯的練習本上整齊地排著20組加法：1＋40，2＋39，3＋38，4＋37，……，然後用一組乘法：41×20。得出了正確答案：820。無疑，這答案是正確的。老師望了一眼他想批評又批評不了的高斯，內心卻受了很大震動。事實上，小高斯是在沒有一點兒概念的情況下，發現了等差數列的規律及計算方法。
從此，伯特納老師對小高斯刮目相看，並盡力地培養他。每當去漢堡時，都要買回各種數學課本給高斯看。這一切，使小高斯的數學才能大增。不久，小學還沒畢業的高斯，其計算才能就引起了當地各界人士的注意。14歲時，高斯被引薦給當地最有名望的人物，布倫瑞克城的大公卡爾·費爾南多，費爾南多成了高斯的長期保護人。
在費爾南多大公在世的那些年裏，高斯每年都可以領到薪俸。由於有了這筆錢，生活有了保障，高斯就全身心地投入到研究工作中去。
1801年，24歲的高斯出版了《算術研究》這一科學巨著，開創了近代數論，得到數學界的一致好評，奠定了他作為18世紀最偉大數學家的地位。