第四章
沈括和他的隙積術
沈括(公元1031～1095)是我國古代卓越的科學家，他出生於錢塘(杭州)。有一天，他和朋友在一家酒店喝酒時，看到院子裏整整齊齊放著一堆酒壇。
“你猜，這堆酒壇有多少個?”朋友好奇地問，“一共有122個。”沈括沉思了一會兒回答。
後來，他的朋友把這堆酒壇搬開來，一個一個點了一下，果然一個不多，一個不少，恰好是122個，猜得真準呀!
原來他是計算出來的，因為酒壇疊得很有規律：每一層都排成長方形，而且下一層比上一層長、寬各增加一個，這堆酒壇有4層，他數得最上麵一層長為5個，寬為3個，以下每層依次為6×4個，7×5個，8×6個，合計
5×3+6×4+7×5+8×6=122(個)。
一般地，假定共有n層，最上麵一層為ab個，則以下每層依次為(a+1)(b+1)個，(a+2)(b+2)個，…，［a+(n-1)］［b+(n-1)］個。所以這堆酒壇的總數為
S=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+…+［a+(n-1)］［b+(n-1)］。
下麵我們來進行推導：
ab=ab，
(a+1)(b+1)=ab+1×(a+b)+12，
(a+2)(b+2)=ab+2×(a+b)+22，
……
［a+(n-1)］［b+(n-1)］=ab+(n-1)(a+b)+(n-1)2，
∴S=nab+A(a+b)+B。
其中，A=1+2+…+(n-1)=n(n-1)2，
B=12+22+…+(n-1)2=n(n-1)(2n-1)6。
∴S=nab+n(n-1)2(a+b)+n(n-1)(2n-1)6
=n6［6ab+3(n-1)(a+b)+(n-1)(2n-1)］。
沈括認為通常求體積的各種公式，作為計算對象的形體都是實心的，但他的問題卻是形體中間有空隙，因此就把這個方法稱為隙積術了，不過，當時沈括把最上麵一層的長和寬的個數分別記作a和b，最底下一層的長和寬的個數分別記作c和d，共n層，因此他得到的公式是
S=n6［(2b+d)a+(b+2d)c］+n6+(c-a)
我國古代一次方程組的研究
大家知道，我國古代在數學方麵有許多傑出的成就，僅以代數中的一次方程組來說，早在二千多年以前，我國最古老的數學經典著作《九章算術》中，就對它有過記載。在公元263年，三國時魏國劉徽編輯的《九章算術》中的第八章就是方程章，共有18個問題，全都是一次方程組的問題，其中二元的問題有8個，三元的問題有6個，四元的問題有2個，五元的問題有1個，屬於不定方程(六個未知數五個方程)的1個。《九章算術》中所用的作法稱為“方程術”。例如“方程章”中第7個問題：“今有牛五羊二值金十兩，牛二羊三值八兩，問牛羊各值幾何。”
設牛羊各值金x、y兩，這個問題相當於求下麵方程組的解：
5x+2y=10，
2x+5y=8，解得x=3421，
y=2021。
在數學史中，大多數人認為是法國數學家別朱(1730～1783)在公元18世紀最早提出一次方程組的解法，而我國最在2 000多年前的《九章算術》中就己經掌握了係統的一次方程組的解法，比歐洲至少要早1 500年。由此可以看出，我國古代關於一次方程組的解法研究遙遙領先，它是我國古代數學最傑出的創造之一。
蘇步青的故事
蘇步青1902年9月出生在浙江省平陽縣的一個山村裏。雖然家境清貧，可他父母省吃儉用，拚死拚活也要供他上學。他在讀初中時，對數學並不感興趣，覺得數學太簡單，一學就懂。可量，後來的一堂數學課影響了他一生的道路。那是蘇步青上初三時，他就讀浙江省六十中來了一位剛從東京留學歸來的教數學課的楊老師。第一堂課楊老師沒有講數學，而是講故事。他說：“當今世界，弱肉強食，世界列強依仗船堅炮利，都想蠶食瓜分中國。中華亡國滅種的危險迫在眉睫，振興科學，發展實業，救亡圖存，在此一舉。‘天下興亡，匹夫有責’，在座的每一位同學都有責任”。他旁征博引，講述了數學在現代科學技術發展中的巨大作用。這堂課的最後一句話是：“為了救亡圖存，必須振興科學。數學是科學的開路先鋒，為了發展科學，必須學好數學。”蘇步青一生不知聽過多少堂課，但這一堂課使他終身難忘。楊老師的課深深地打動了他，給他的思想注入了新的興奮劑。讀書，不僅為了擺脫個人困境，而是要拯救中國廣大的苦難民眾；讀書，不僅是為了個人找出路，而是為中華民族求新生。當天晚上，蘇步青輾轉反側，徹夜難眠。在楊老師的影響下，蘇步青的興趣從文學轉向了數學，並從此立下了。讀書不忘救國，救國不忘讀書”的座右銘。一迷上數學，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，蘇步青隻知道讀書、思考、解題，演算，4年中演算了上萬道數學習題，現在溫州一中(即當時省立十中)還珍藏著蘇步青一本幾何練習薄，用毛筆書寫，工工整整。中學畢業時，蘇步青門門功課都在90分以上。17歲時，蘇步青赴日留學，並以第一名的成績考取東京高等工業學校，在那裏他如饑似渴地學習著。為國爭光的信念驅使蘇步青較早地進入了數學的研究領域，在完成學業的同時，寫了30多篇論文，在微分幾何方麵取得令人矚目的成果，並於1931年獲得理學博士學位。獲得博士之前，蘇步青已在日本帝國大學數學係當講師，正當日本一個大學準備聘他去任待遇優厚的副教授時，蘇步青卻決定回國，回到撫育他成長的祖任教。回到浙大任教授的蘇步青，生活十分艱苦。麵對困境，蘇步青的回答是“吃苦算得了什麼，我甘心情願，因為我選擇了一條正確的道路，這是一條愛國的光明之路啊!”這就是老一輩數學家那顆愛國的赤子之心。