數 學 工 具
原始的計算工具
計算是人類的一種思維活動。人類初期的計算主要是計數。最早用來幫助計數的工具是人類的四肢(手、腳、手指、腳趾)或身邊的小石頭、貝殼、繩子等。中國有句古話叫“屈指可數”，說明人們常用手指來計算簡單的數。
在美國紐約的博物館裏，珍藏著一件從秘魯出土的古代文物，名叫“基普”，意即打了繩結的繩子。基普是古人用來計數和記事的。傳說公元前6世紀，波斯國王在一次征戰中曾命令一支部隊守橋，他把一條打了結的皮帶交給留守將士，要他們每守一天解天一個結，一直守到皮帶上的結全部解完才準撤退。
在沒有文字的我國古代，人們用在繩子上打結的方法來計數和記事。一件事打一個結，大事打個大結，小事打個小結，辦完了一件事就解掉一個結。
古人不僅用繩結記數，而且還使用小石子等其他工具來計數。例如，他們的羊，早晨放牧到草地裏，晚上必須圈到柵欄裏。這樣，早晨從柵欄裏放出來的時候，出來一頭就往罐子裏扔一塊小石子；傍晚羊進柵欄時，進去一頭就從罐子裏拿出一塊小石子。如果石子全部拿光了，就說明羊全部進圈了；如果罐子裏還剩下石子，說明有羊丟失了，必須立刻去尋找。
規矩和直尺圓規
規和矩發明於中國，是古人用來測量、畫圓形和方形的兩種工具。“規”就是畫圓的圓規；“矩”就是折成直角的曲尺，尺上有刻度。古人說“不以規矩，不能成方圓”，就是這個意思。
規矩發明的確切年代已無法查清，但在公元前15世紀的甲骨文中，已有規、矩二字了。漢朝著名史學家司馬遷著的《史記》中有這樣的記載：夏禹治水的時候，是“左準繩，右規矩”。這意思是說，夏禹是左手拿著水準繩，右手拿規和矩進行測量，規劃出治水方案的。說明在夏禹治水的年代(約公元前2000年)就有了規和矩這兩種幾何工具了。
規矩的使用，對於我國古代幾何學的發展，有著很重要的意義。周代數學家商高曾對“用矩之道”作過理論總結：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠。”這一段話，精煉地概括了矩的廣泛而靈活的用途。“平矩以正繩”，是指把矩的一邊放置水平，另一邊靠在一條豎立的線上，可以判定繩子是否鉛直。“偃矩以望高”，是指把矩的一邊仰著另一邊放平，可以測量高度。“覆矩以測深”，是把上述測高的矩顛倒過來，就能測量深度。“臥矩以知遠”，是指上述測高的矩平躺在地麵上，就可以測出遠處兩地間的距離。
古希臘人研究幾何問題時，一般用直尺和圓規這兩種工具。這種直尺沒有刻度，隻能畫直線。希臘人作圖隻能從最基本的工具——直尺和圓規開始，完成盡可能多的幾何圖形。由此產生了兩方麵的問題：一是能否用直尺圓規畫出這個圖形；二是如能畫出，怎麼畫。在這方麵，最有名的是所謂直尺圓規作圖的三大問題：三等分任意角、倍立方和化圓為方。對用直尺圓規作圖的研究，導致了許多數學定理的發現。
算盤和珠算
算盤是中國人民在長期運用算籌計算的基礎上，大約在14世紀左右發明的。從那以後，算盤就取代了算籌而廣為流傳，延續至今，一直是我國一種最普遍的計算工具之一。用算盤來計算的方法叫珠算。
除了中國，還有些地區也出現過算盤，但都沒有流傳下來。古代埃及人進行貿易時，他們在地上鋪上一層沙子，用手在沙子上劃出一些溝，再把小石子放在溝裏，作加、減法就是增減溝裏的石子。這是最原始的算盤。後來，歐洲的商人用刻有槽子的計算板代替沙子，用專門製作的算珠取代了石子。經過多次改進，這種計算板類似於我國使用的算盤。但由於歐洲人的計算板是用鋼製成的，笨重而且昂貴，再加上西方人沒有運算口訣，使用起來不方便，因而逐漸被淘汰了。還有的地區的算盤是用每根木條穿著十顆木珠製成的，但由於人們把每顆珠子看作1，不像中國算盤下珠以一當一、上珠以一當五，因此計算起來速度大受限製，使用也不廣泛。
中國算盤以其製作簡單、價格低廉、運算方便，配以易學易記的珠算口訣等優點，長盛不衰。15世紀中期在《魯班木經》中已有製造算盤的詳細介紹。關於珠算術，明代吳敬《九章算法比類大全》記載最早。1573年我國徐心魯寫了第一本係統介紹珠算算法的書，1592年程大位又寫了《直指算法統宗》等，這都加速了算盤的推廣，使珠算流傳到了很多國家。國際上曾多次進行過計算速度的比賽，在和手搖計算機及電子計算機的對抗賽中，每次加、減法的速度冠軍都是算盤。因此在有了電子計算機的今天，人們仍廣泛地使用算盤。如日本使用算盤的企業仍占相當比例，英、美、法等工業國仍把珠算列入小學課程。使用算盤和珠算除了其計算功能外，還有鍛煉思維能力的作用。