《數學知識篇》（上）

第五章（1 / 3）

第五章

無限大與無限小

人們一般碰到的數，無論是實數還是複數，都有確定的量值，換句話說是有限的。這反映了我們通常碰到的事物是有限的，總可以用這些數計量。

人類的長期的認識過程中，又逐漸產生兩個新的概念。最早的時候，人們將整個宇宙理解為地球，航海學的測量又測得地球半徑為6370公裏，對人們來說，那是一個非常大的數。16世紀，哥白尼的“日心說”又將宇宙擴大到以太陽為中心的太陽係，太陽係的半徑為60億公裏，約是地球半徑的94萬倍，地球與之相比隻是滄海一粟了。18世紀，人們的視野擴展到銀河係，銀河係的直徑相當於93312×1017公裏，這個數字更是大得驚人。隨著科學技術的發展，人們借助射電望遠鏡，又將宇宙範圍擴展到星係團、超星係團，以至總星係。這些星係的半徑都在數百萬光年(光年即光走一年的路程，約93312×1017公裏)以上，這個數字簡直是無法把握的。總星係之上當然還有更大的宇宙，永遠不會窮盡。這樣就出現了無限大的概念，數學上記為∞。它的含義是比任何數都大的數，這個數當然是虛擬的，不是一個確定的數。

在微觀世界，人類的認識也從分子認識到原子，從原子認識到原子核。原子核的直徑約10-13厘米，原子核還可以分解為質子、中子，它們的直徑更小。這一分解過程也可以無窮盡地進行下去。這樣就帶來了無限小的概念。

無限大、無限小的含義已經涉及數的變化趨勢了，這是從確定量到變量的過渡中產生的數，是微積分的基礎。

將循環小數化成分數

將循環小數化成分數，是解決有關循環小數的基本方法。怎樣才能將循環小數化成分數呢?這要請我們的老朋友——9來幫助解決問題。我們知道，在數列計算中，有一個無窮等比數列的求和公式s＝a1-q。其中a是這個數列的第一項，q是公比。下麵要用這個公式來研究化循環小數為分數的方法。先觀察下麵兩個循環小數：0666……＝06，0242424……＝024。它們都是從小數點後的第一位開始循環的，叫做純循環小數。為了便於計算，先將它們寫成分數的和的形式：

0666……＝06+006+0006+……

＝610+6100+61000+610000+……

0242424……＝024+00024+0000024+……

＝24100+241000+241000000+……

這就變成了無窮遞縮等比數列的形式。06666……的公比是110，而0242424……的公比是1100。根據求和公式得：

066……＝6101-110＝６10-1＝69，

02424……＝241001-1100＝24100-1＝2499。

由此可以看出，要把純循環小數化為分數，隻要把一個循環節的數化為分子，讓分母由9組成，循環節有幾位數字，分母是幾個9就行了。例如：

04444……＝04＝49

05656……＝056＝5699，

031233123……＝03123＝31239999＝3471111。

下麵再來看看以下兩個循環小數：

02888……＝028，03545454……＝0354它們都不是從小數點的第一位開始循環的，這叫混循環小數。用分數的和可表示為：

02888……＝210+8100+81000+810000+……，

035454……＝310+541000+54100000+……。

這種和的形式，從第二項起，構成了一個分別以110，1100為公比的無窮遞縮等比數列。由求和公式得：

02888……＝210+81001-110＝210+8100-10＝210+890＝2×9+890＝26〖〗90＝1345。

035454……＝310+5410001-1100＝310+541000-10＝310+54990＝3×99+54900＝351990＝39110。

由此可以看出：把混循環小數化為分數，先去掉小數點，再用第二個循環節以前的數字減去不循環部分的數字，將得到的差作為分子；分母由9和0組成，9的個數等於一個循環節的位數，9的後麵寫0，0的個數等於不循環部分的位數。例如：

02777……＝027＝27-290＝2590＝5〖〗18。

031252525……＝03125＝3125-319900＝15474950。

數學的變化雖是無窮的，在研究了大量的現象或大量的例題後，應學會從特殊的問題中，總結出一般規律的思考方法。這種由特殊情況歸納出一般情況的方法稱為經驗歸納法。

邏輯體係的奇跡

公元前3世紀時，最著名的數學中心是亞曆山大城；在亞曆山大城，最著名的數學家是歐幾裏得。