歐幾裏得知識淵博，數學造詣精湛，尤其擅長於幾何證明。連當時的國王也經常向他請教數學問題。有一次，國王做一道幾何證明題，接連做了許多天都沒有做出來，就問歐幾裏得，能不能把幾何證明搞得稍微簡單一些。歐幾裏得認為國王想投機取巧，於是不客氣地回答說：“陛下，幾何學裏可沒有專門為您開辟的大道!”這句話長久地流傳下來，許多人把它當做學習幾何的箴言。
在數學上，歐幾裏得最大的貢獻是編了一本書。當然，僅憑這一本書，就足以使他獲得不配的聲譽。
這本書，也就是震爍古今的數學巨著《幾何原本》。
為了編好這本書，歐幾裏得創造了一種巧妙的陳述方式。一開頭，他介紹了所有的定義，讓大家一翻開書，就知道書中的每個概念是什麼意思。例如，什麼叫做點?書中說：“點是沒有部分的。”什麼叫做線?書中說：“線有長度但沒有寬度。”這樣一來，大家就不會對書中的概述產生歧義了。
接下來，歐幾裏得提出了5個公理和5個公設：
公理1與同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。
公理2等量加等量，總量仍相等。
公理3等量減等量，總量仍相等。
公理4彼此重合的東西彼此是相等的。
公理5整體大於部分。
公設1從任意的一個點到另外一個點作一條直線是可能是。
公設2把有限的直線不斷循直線延長是可能的。
公設3以任一點為圓心和任一距離為半徑作一圓是可能的。
公設4所有的直角都相等。
公設5如果一直線與兩直線相交，且同側所交兩內角之和小於兩直角，則兩直線無限延長後必相交於該側的一點。
在現在看來，公理與公設實際上是一回事，它們都是最基本的數學結論。公理的正確性是無庸置疑的，因為它們都經過了長期實際踐的反複檢驗。而且，除了第5公設以外，其他公理的正確性幾乎是“一目了然”的。想想看，你能找出一個例子，說明這些公理不正確嗎?
這些公理是幹什麼用的?歐幾裏得把它們作為數學推理的基礎。他想，既然誰也無法否認公理的正確性，那麼，用它們作理論依據去證明數學定理，隻要證明的過程不出差錯，定理的正確性也是理論證據，卻能推導出新的數學定理來。這樣，就可以用一根邏輯的鏈條，把所有的定理都串聯起來，讓每一個環節都銜接得絲絲入扣，無懈可擊。
在《幾何原本》裏，歐幾裏得用這種方式，有條不紊地證明了467個重要的數學定理。
從此，古希臘豐富的幾何學知識，形成了一個邏輯嚴謹的科學體係。
這是一個奇跡!2000多年後，大科學家愛因斯坦仍然懷著深深的敬意稱讚說：這是“世界第一次目睹了一個邏輯體係的奇跡”。
尺規作圖拾趣
希臘是奧林匹克運動的發源地。奧運會上的每一個競賽項目，對運動器械都有明確的規定，不然的話，就不易顯示出誰“更快、更高、更強”。一些古希臘人認為，幾何作圖也應像體育競賽一樣，對作圖工作作一番明確的規定，不然的話，就不易顯示出誰的邏輯思維能力更強。
應該怎樣限製幾何作圖工具呢?他們認為，幾何圖形都是由直線和圓組成的，有了直尺和圓規，就能作出這兩樣圖形，不需要再添加其他的工具。於是規定在幾何作圖時，隻準許使用圓規和沒有刻度的直尺，並且規定隻準許使用有限次。
由於有了這樣一個規定，一些普普通通的幾何作圖題，頃刻間身價百倍，萬眾矚目，有不少題目甚至讓西方數學家苦苦思索了2000多年。
尺規作圖特有的魅力，使無數的人沉湎其中，樂而忘返。連拿破侖這樣一位威震歐洲的風雲人物，在轉戰南北的餘暇，也常常沉醉於尺規作圖的樂趣中。有一次，他還編了一道尺規作圖題，向全法國數學家挑戰呢。
拿破侖出的題目是：“隻準許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分。”
由於圓心O是已知的，求出這個題目的答案並不難。
我們可以在圓周上任意選一點A，用圓規量出OA的長度，然後以A點為圓心畫弧，得到B點；再以B點為圓心畫弧，得到C點；再以C點為圓心畫弧，得到D點。這時，用圓規量出AC的長度，再分別以A點和D點為圓心畫兩條弧，得到交點M。接下來，隻要用圓規量出OM的長度，逐一在圓周上劃分，就可以把圓周4等分了。
如果再增添一把直尺，將這些4等分點連接起來，就可以得到一個正4邊形。由此不難看出，等分圓周與作正多邊形實際上是一回事。
隻使用直尺和圓規，怎樣作出一個正5邊形和正6邊形呢?
這兩個題目都很容易解答，有興趣的讀者不妨試一試。
不過，隻使用直尺和圓規，要作出正7邊形可就不那麼容易了。別看由6到7，僅僅隻增加了一條邊，卻一躍成為古代幾何的四大名題之一。尺規作圖題就是這樣變化莫測。
這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策。後來，大數學家阿基米德發現了前人之所以全都失敗了的原因：正7邊形是不能由尺規作出的。阿基米德從理論上嚴格證明了這一結論。