那麼，采用尺規作圖法，究竟有哪些正多邊形作得出來，有哪些作不出來呢?
有人猜測：如果正多邊形的邊數是大於5的質數，這種正多邊形就一定作不出來。
17是一個比5大的質數，按上麵這種說法，正17邊形是一定作不出來的。在過去的2000年裏，確實有許多數學家試圖作出正17邊形，但無一不遭受失敗。豈料在1796年，18歲的大學生高斯居然用尺規作出了一個正17邊形，頓時震動了整個歐洲數學界。
這件事也深深震動了高斯，使他充分意識到自己的數學能力，從此決心獻身於數學研究，後來終於成為一代數學大師。
高斯還發明了一個判別法則，指出什麼樣的正多邊形能由尺規作出，什麼樣的正多邊形則不能，圓滿地解決了正多邊形的可能性問題。高斯的判別法則表明，能夠由尺規作出的正多邊形是很少的，例如，在邊數是100以內的正多邊形中，能夠由尺規作出的隻有24種。
有趣的是，正7邊形的邊數雖少，卻不能由尺規作出；而正257邊形，邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規作出。1832邊形，邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規作出。1832年，數學家黎克洛根據高斯指出的原則，解決了正257邊形的作圖問題。他的作圖步驟極其繁瑣，寫滿了80頁紙，創造了一項“世界紀錄”。
不久，德國人赫爾梅斯又刷新了這個紀錄。他費了10年功夫，解決了正65537有的作圖問題。這是世界上最繁瑣的尺規作圖題。據說，赫爾梅斯手稿可以裝滿整整一手提箱呢!
有形狀的數
畢達哥拉斯不僅知道奇數、偶數、質數、合數，還把自然數分成了親和數、虧數、完全數等等。他分類的方法很奇特，其中，最有趣的是“形數”。
什麼是形數呢？畢達哥拉斯研究數的概念時，喜歡把數描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，於是就產生一係列的形數。
畢達哥拉斯發現，當小石子的數目是1、3、6、10等數時，小石子都能擺成正三角形，他把這些數叫做三角形數；當小石子的數目是1、4、9、16等數時，小石子都能擺成正方形，他把這些數叫做正方形數；當小石子的數目是1、5、12、22等數時，小石子都能擺成正五邊形，他把這些數叫做五邊形數……
這樣一來，抽象的自然數就有了生動的形象，尋找它們之間的規律也就容易多了。不難看出，頭四個三角形數都是一些連續自然數的和。瞧，3是第二個三角形數，它等於1＋2；6是第三個三角形數，它等於1＋2＋3；10是第四個三角形數，它等於1＋2＋3＋4。
看到這裏，人們很自然地就會生發出一個猜想：第五個三角形數應該等於1＋2＋3＋4＋5，第六個三角形數應該等於1＋2＋3＋4＋5＋6，第七個三角形數應該等於……
這個猜想對不對呢？
由於自然數有了“形狀”，驗證這個猜想費不了什麼事。隻要拿15個或者21個小石子出來擺一下，很快就會發現：它們都能擺成正三角形，都是三角形數，而且正好就是第五個和第六個三角形數。
就這樣，畢達哥拉斯借助生動的幾何直觀，很快就發現了自然數的一個規律：連續自然數的和都是三角形數。如果用字母n表示最後一個加數，那麼1＋2＋…＋n的和也是一個三角形數，而且正好就是第n個三角形數。
畢達哥拉斯還發現，第n個正方形數等於n2，第n個五邊形數等於n（3n－1）／2，第n個六邊形數等於2n（n－1）……根據這些規律，人們就可以寫出很多很多的形數。
不過，畢達哥拉斯並不因此而滿足。譬如三角形數，需要一個數一個數地相加，才能算出一個新的三角形數，畢達哥拉斯認為這太麻煩了，於是著手去尋找一種簡捷的計算方法。經過深入探索自然數的內在規律，他又發現，
1＋2＋……＋n＝12×n×（n＋1）
這是一個重要的數學公式，有了它，計算連續自然數的和可就方便多了。例如，要計算一堆電線杆數目，用不著一一去數，隻要知道它有多少層就行了。如果它有7層，隻要用7代替公式中的n，就能算出這堆電線杆的數目。
1＋2＋3十4＋5＋6＋7
＝12×7×（7＋1）＝28（根）
就這樣，畢達哥拉斯借助生動的幾何直觀，發現了許多有趣的數學定理。而且，這些定理都能以純幾何的方法來證明。
例如，在一些正方形數裏，左上角第一個框內的數是1，它是1的平方；第二框內由1＋3組成，共有4個小石子，它是2的平方；第三個框內由1＋3＋5組成，共有9個小石子，它是3的平方。……由此不難看出，隻要在正方形數上作些記號，就能令人信服地說明一個數學定理：“從1開始，任何個相繼的奇數之和是完全平方。”即
1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n2