第六章
費爾馬小定理
17世紀時，有個法國律師叫費爾馬。他非常喜歡數學，常常利用業餘時間研究高深的數學問題，結果取得了很大的成就，被人稱為“業餘數學家之王”。
費爾馬研究數學時，不喜歡搞證明，喜歡提問題。他憑借豐富的想像力和深刻的洞察力，提出了一係列重要的數學猜想，深刻地影響了數學的發展。他提出了“費爾馬大定理”，幾百年來吸引了無數的數學家，是一個至今尚未完全解決的著名數學難題。
費爾馬最喜歡的數學分支是數論。他曾深入研究過質數的性質。1640年，他發現了一個有趣的現象：
當n＝1時，22n＋1＝221＋1＝5；
當n＝2時，22n＋1＝222＋1＝17；
當n＝3時，22n＋1＝223＋1＝257；
當n＝4時，22n＋1＝224＋1＝65537；
費爾馬沒有繼續算下去，他猜測說：隻要n是自然數，由這個公式算出的數一定都是質數。
這是一個很有名的猜想。由於演算起來很麻煩，很少有人去驗證它。1732年，大數學家歐拉認真研究了這個問題。他發現，費爾馬隻要往下演算一個自然數，就會發現由這個公式算出的數不全是質數。
n＝5時，22n＋1＝225＋1＝4294967297，
4294967297可以分解成641×6700417，它不是質數。也就是說，費爾馬的這個猜想不能成為一個求質數的公式。
實際上，幾千年來，數學家們一直在尋找這樣一個公式，一個能求出所有質數的公式。但直到現在，誰也未能找到這樣一個公式。而且誰也未能找到證據，說這樣的公式就一定不存在。這樣的公式究竟存在不存在，也就成了一個著名的數學難題。
費爾馬有心找出一個求質數的公式，結果未能成功，人們發現，倒是他無意提出的另一個猜想，對尋找質數很有用處。
費爾馬猜測說：如果P是一個質數，那麼，對於任何自然數n，np－n一定能夠被P整除。這一回，費爾馬猜對了。這個猜想被人稱做費爾馬小定理。例如11是質數，2是自然數，所以211－2一定能被11整除。
如果反過來問：若n能夠整除2n－2，n是否一定就是質數呢？
答案是否定的。但人們發現，由這個公式算出的數絕大多數是質數。有人統計過，在1010以內，隻要n能整除（2n－2），則n有999967％的可能是質數。這樣，隻要能剔除為數極少的冒牌質數，鑒定一個數是不是質數也就不難了。
利用費爾馬小定理，這是目前最有效的鑒定質數的方法。要判斷一個數的n是不是質數，首先看它能不能被（2n－2）整除，如果不能整除，它一定是合數；如果能整除，它就極有可能是質數。有消息說，在電子計算機上運用這種新方法，要鑒定一個上百位的數是不是質數，一般隻要15秒鍾就夠了。
破碎的數
在拉丁文裏，分數一詞源於frangere，是打破、斷裂的意思，因此分數也曾被人叫做是“破碎數”。
在數的曆史上，分數幾乎與自然數同樣古老，在各個民族最古老的文獻裏，都能找到有關數的記載，然而，分數在數學中傳播並獲得自己的地位，卻用了幾千年的時間。
在歐洲，這些“破碎數”曾經令人談虎色變，視為畏途。7世紀時，有個數學家算出了一道8個分數相加的習題，竟被認為是幹了一件了不起的大事情。在很長的一段時間裏，歐洲數學家在編寫算術課本時，不得不把分數的運算法則單獨敘述，因為許多學生遇到分數後，就會心灰意懶，不願意繼續學習數學了。直到17世紀，歐洲的許多學校還不得不派最好的教師去講授分數知識。以致到現在，德國人形容某個人陷入困境時，還常常引用一句古老的諺語，說他“掉進分數裏去了”。