第十一章
墓碑上的數學
丟番都是古代希臘著名的數學家，關於他的年齡在任何書上都沒有明確的記載，可是，在他的墓碑上卻刻下了關於他的生平資料。如果依據墓碑上提供的生平資料，用數學方法去解答，就能算出數學家丟番都的年齡，這就是人們所說的“墓碑上的數學”。
丟番都的幕碑上到底刻了些什麼呢?
“過路人，丟番都長眠在此。倘若你懂得碑文的奧秘，它就會告訴你丟番都一生壽命究竟有多長。
“他的生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，他度過了愉快的青年時代；後來丟番都結了婚，這樣又度過了一生的七分之一；再過五年，他得了第一個兒子，感到很幸福，可是命運給這個孩子在世界上的光輝燦爛的生命隻有他父親壽命的一半；自從兒子死了以後，他努力在數學研究中尋求慰藉，又過了四年，終於結束了塵世的生涯。”
現在讓我們從碑文中去尋求解答問題的各種數量關係。
先用方程解。我們假設丟番都的年齡是x歲；他的生命的六分之一是童年，童年便是x6；再活了他生命的十二分之一，就是再活了x12；他結婚又度過了一生的七分之一，便是x7；再過五年生了兒子，兒子的生命是父親壽命的一半，那就是x2；兒子死後的四年，他結束了一生。
根據以上分析可以列出方程：
x=x6+x12+x7+5+x2+4
解：
84x=14x+7x+12x+42x+756
9x=756
x=84
這就是說，丟番都活了84歲。
也可用算術方法解。我們把丟番都的年齡看作整體“1”，童年是16，青年是112，結婚後度過了一生的17，又過了5年生兒子，兒子年齡是他父親生命的12，又過4年，結束了一生。
由此說明(4+5)年恰好是他一生的(1-16-112-17-12)。列式為：
(4+5)÷(1-16-112-17-12)
=9÷84-14-7-12-4284
=9÷984
=84(歲)
由此可以得知，丟番都21歲結婚，38歲做了爸爸，兒子隻活了42歲，兒子死的時候，丟番都是80歲，兒子死後4年，這位84歲的老人給自己的一生畫了一個句號。
丟番都的主要著作有《算術》一書。在書中，除了記述代數原理外，還記述了不定方程及其解法。丟番都研究的不定方程問題，對後來的數學研究影響很大，後人也把不定方程稱為“丟番都方程”。
朋友與“親和數”
傳說在公元前500多年，古希臘的克羅托那城中，畢達哥拉斯學派正在討論“數對於萬物的作用”，一位學者問“在我們交朋友時，存在數的作用嗎?”偉大的數學家畢達哥拉斯答到：“朋友是你靈魂的倩影，要像220與284一樣親密。”他的話使人感到蹊蹺，接著他宣布：神默示我們，220的全部真因子之和1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110恰好等於284，而284的全部真因子之和1+2+4+71+142又恰好等於220，它們是一對奇妙的“親和數”。畢達哥拉斯的妙喻，簡直使學者們驚呆了，不過在此後的一段漫長的時間裏，人們知道的親和數就隻有這一對。
直到公元七世紀，在古老的巴格達城中，出現了一位偉大的博學者泰比特·伊本柯拉。他是醫生、哲學家和天文學家，並且酷愛數學，他對親和數的特性潛心思索，竟驚人地發現了一個求親和數的公式。即a＝3·2x1，b＝3·2x11，c＝9·22x11，這裏x是大於1的正整數，則當a、b和c為素數時，2xab和2xc是一對親和數，同時給出了公式的證明，並驗證當X＝2時，求得的親和數就是220和284。然而令人惋惜的是泰比特·伊本柯拉並沒有給出新的親和數。