第十二章
愛吹牛的理發師
1919年，著名英國數學家羅素編了一個很有趣的“笑話”。
小鎮有個愛吹牛的理發師。有一天，理發師誇下海口說：“我給鎮上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且隻給這樣的人刮胡子。”
大家聽了直發笑。有人問他：“理發師先生，您給不給自己刮胡子呢？”
“這，這，……”理發師張口結舌，半晌說不出一句話來。
原來，這個愛吹牛的理發師，已經陷入自相矛盾的窘境。如果他給自己刮胡子，那就不符合他聲明的前一半，這樣，他就不應當給自己刮胡子；但是，如果他不給自己刮胡子，那又不符合他聲明的後一半，所以，他又應當給自己刮胡子。無論刮不刮，橫豎都不對。
像理發師這樣在邏輯上自相矛盾的言論，叫做“悖論”。羅素編的這則笑話，就是數學史上著名的“理發師悖論”。
理發師的狼狽相是很好笑的，可是，數學家聽了卻笑不起來，因為他們自己也像那個愛吹牛的理發師一樣，陷入了自相矛盾的尷尬境地。
實際上，20世紀初期的數學家們，比那個愛吹牛的理發師更狼狽。理發師隻要撤消原來的聲明，厚起臉皮哈哈一笑，什麼事情都沒有了；數學家可沒有他那樣幸運，因為他們遇上了一個無法回避的數學悖論，如果撤消原來的“聲明”，那麼，現代數學中大部分有價值的知識，也都蕩然無存了。
這個數學悖論也是羅素提出來的。1902年，羅素從已被人們公認為數學基礎理論的集合論中，按照數學家們通用的邏輯方法，“嚴格”地構造出這個數學悖論。把它通俗化就是理發師悖論。
集合論是19世紀末發展起來的一種數學理論，它已迅速深入到數學的每一個角落，直至中學數學課本。它極大地改變了整個數學的麵貌。正當數學家們剛剛把數學奠立在集合論的基礎上時，羅素悖論出現了，它用無可辯駁的事實指出，誰讚成集合論，誰將變成一個“愛吹牛的理發師”，從而陷入自相矛盾的窘境。數學家們尷尬萬分，如果繼續承認集合論，那麼，號稱絕對嚴密的數學，就會因為羅素悖論這樣的怪物而不能自圓其說；如果不承認集合論，那麼，許許多多重要的數學發明也就不複存在了。
羅素悖論震撼了世界數學界，導致了一場涉及數學基礎的危機。人們已經發現，在數學這座輝煌大廈的基礎部分，存在著一條巨大的裂縫，如不加以修補，整座大廈隨時都有倒塌的危險。
數學家們勇敢地接受了挑戰。他們認真考察了產生羅素悖論的原因。原來，之所以出現羅素悖論這樣的怪物，是由於在集合論中，“集合的集合”這句話不能隨便說。於是，數學家們開始探索數學結論在什麼情況下才具有真理性，數學推理在什麼情況下才是有效的……，從而產生了一門新的數學分支——數學基礎論。
在這個領域裏，由於數學家的觀點不同，產生了3個著名的學派。以羅素為主要代表的數學家叫邏輯主義學派，他們認為，隻要不允許使用“集合的集合”這種非邏輯語言，羅素悖論就不會發生；以布勞威爾為主要代表的數學家叫直覺主義學派，他們認為，“集合的集合”是不能用直覺理解的，不承認它的合理性，羅素悖論自然也就不會產生了；以希爾伯特為主要代表的數學家叫形式主義學派，他們認為，悖論是一種不相容的表現。
三大學派都提出了修補數學基礎的方案，由於各執己見，爆發了一場大論戰。這場大論戰對現代數學發展影響深遠，還導致了許多新的數學分支的誕生。
現在，修補數學基礎的工作尚未取得令人完全滿意的結果，數學家們仍在頑強拚搏。
牛皮上的城堡
你知道古代城市卡發汗嗎?它就是在一張牛皮所占有的土地上建立的城市。
傳說基爾王的公主蒂頓娜的丈夫被她的兄弟殺死，她逃到非洲。她在奴米地國王那裏用了很少的錢買了“一張牛皮所能占有的”土地。這項交易簽約後，蒂頓娜把牛皮割成非常細的牛皮條，圍成很大的一片土地，足以建成一座城堡。後來擴建成卡發汗。