第六章
怎樣把有理數排隊編號
正整數、負整數和零、一切整數，都可以排隊編號，我們已經知道了。
那麼，有理數是不是也能排隊編號呢？
有理數要排隊編號，比起整數來，要複雜得多。因為整數排隊，可以按它們的絕對值的大小來分別前後。而有理數呢，就不同了。譬如在相鄰的兩個自然數2與3之間，就有無限多個有理數。如果仍舊按它們的絕對值大小來排隊，是編不出號碼的。
能不能想辦法把有理數排隊編號呢？
也有辦法。下麵就作一個介紹。
先看一看下麵這個表：
1234567……
12223242526272……
13233343536373……
14243444546474……
…………
…………
從上麵這個表，可以看出，第一行是自然數，就是分母是1，分子是自然數由小到大的分數；第二行分母是2，分子是自然數由小到大的分數；第三行以下可以依次類推。行數是無限的。這樣一個表，就可以包括所有的正有理數了。
現在就可以把這個表上的所有的數排隊編號了。排隊編號的方法是按照下列的路線：
先從1起，向右到2，然後向左下斜行到12，再向下到13，再向右上斜行過22到3，又向右到4，又向左下斜行……
這樣，可以經過所有表上的有理數，一個也不會漏掉。但是，這裏有些有理數是重複的。如1和22，33……，實際上都是1；12，24，36，……等等也是重複的，實際上都是12。所以，在這個排列的表中，要把出現重複的地方去掉。這樣得到的是：1，2，12，13，3，4，3〖〗2，23，14，15，5……。這裏，13和3之間的22去掉了。1〖〗5和5之間的24，33，42都去掉了。這樣，正有理數的排隊就解決了。排隊排好，編號就不成問題了。1是1號，2是2號，12是3號，13是4號，3是5號等等。
如果要把所有有理數包括正的、負的和零一起排呢？你就可以自己解決了。
你不要以為這樣的排隊編號，是一種消遣性質的數學遊戲。在數學裏，象自然數、整數、有理數這類可以把所有的數排隊編號的集合，叫做“可數集合”。另一方麵，象實數（包括有理數和無理數）、複數（包括實數和虛數）這樣的數的集合，就不能把所有有關的數排隊編號，這樣的集合，叫做“不可數集合”。可數集合和不可數集合的性質和規律是有所不同的。
抽屜原則
現在有五本書要放到四個抽屜裏去，放法是很多的，有的抽屜可以不放，有的可以放一本，有的可以放二本、三本、四本甚至放五本。但是，隨便怎樣放法，至少總可以找到一個抽屜裏至少放上二本書的。
如果每一個抽屜代表一個集合，每一本書就代表一個元素。假使有n＋1或比n＋1多的元素要放到n個集合裏去，那也沒有疑問，其中必定至少有一個集合裏至少放進二個元素。這就是“抽屜原則”的抽象涵義。
現在我們班上有54個同學，我說，這54個同學中至少有二個人是同一個星期出生的。你一定會驚奇，我怎麼會知道的呢？這很簡單，按照我們學校目前招生的情況，學生們的生日不會相差一年，因為一年之中隻有53個星期，現在學生有54人，我們運用抽屜原則的知識，把星期作為抽屜，學生作為書本，那麼，這53個抽屜裏，至少有一個抽屜放進至少二本書的，也就是至少有二個同學在同一星期出生。這不是很容易解答的嗎？