1312212能不能被2整除？
2215412能不能被3或9整除？
35712能不能被5整除？
4412632能不能被11整除？
你不用筆算，能把結果正確地說出來嗎？
也許你認為被除數的位數多了，心算就不可能。
其實要算出一個數能不能被某些數整除，不在乎被除數的位數，也不需要有心算的訓練，主要的關鍵在於我們是不是已經掌握了整除的規律。
1因為偶數能被2整除，所以，個位數是0或偶數的都能被2整除。
312212是偶數，所以能被2整除。
2由於10、102、103……除以3或9的餘數都是1，因此，10c，102b，103a……除以3或9的餘數分別是c，b，a……。比如說，一個四位數，它可以寫成103a＋102b＋10c＋d。它能不能被3或9整除，就看各個位數相加的和（a＋b＋c＋d）能不能被3或9整除。
215412各位數字的和是2＋1＋5＋4＋1＋2＝15，再把15的兩位數字相加為1＋5=6。6能被3整除，而不能被9整除，因此，215412這個數能被3整除，但不能被9整除。
如果一個數目的各位數字的和能被9整除，這個數目就能被9整除。能被9整除的數，一定能被3整除。但是，反過來說並不一定成立，以上舉的215412就是一個例子。
310、102、103……都能夠被5整除，一個數能不能被5整除，在於這個數的個位數。因此，個位數是0或5的數，就能被5整除。
410、102、103……除以11的餘數，分別是－1、1、－1、1、－1……因而一個數的個位、百位、萬位……數的和，如果與十位、千位、十萬位……數的和相同，或它們的差能被11整除，就可以斷定這個數能被11整除。
由於412632這個數的個位、百位、萬位數字的和是2＋6＋1＝9，而十位、千位、十萬位數字的和是3＋2＋4＝9。這兩個和是相同的，因此，412632這個數能被11整除。
至於其他一些除數能不能整除被除數，並不象2、3、9、5、11那樣容易看出來。
我們看看除數是4或7的情況怎麼樣？
除數是4的時候，由於102、103……都能被4整除，因此，一個被除數能不能被4整除，要看這個被除數的個位數與十位數，能不能被4整除。
例如7324能被4整除，而7322隻能被2整除，而不能被4整除。
除數是7的時候，由於10、102、103……除以7的餘數分別是3、2、－1、－3、－2、1、3、2、－1……因此，一個被除數，比如說一個五位數104a＋103b＋102c＋10d＋e能不能被7整除，要看（e－b）＋3（d－a）＋2c能否被7整除。
35532這個數能不能被7整除呢？因為（2－5)十3×（3－3）＋2×5＝－3＋10＝7，所以，這個數能被7整除。
如果除數分解成幾個互素的因數，比如12＝3×4，14＝2×7，15＝3×5，18＝2×9，21＝3×7，那麼，它們能不能整除一個被除數呢？就要看這個被除數能不能被這些因數同時整除。
35532是偶數，它又能被7整除，因此，它能被2×7＝14整除。
73512是偶數，又能被9整除，所以，73512這個數能被2×9＝18整除，其餘可以類推。
任何一件事，隻要分析了它的原因，總結出規律來，就能很好地解答它。
從1加到n再返回1的數怎樣速算
在一個數學俱樂部的遊藝牌上寫著這樣一道題：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝？你能很快地答出來嗎？
有的人老老實實地加起來，當然也得到了結果，但是這不符合要求啊。那麼，怎樣來速算呢？
先看看下麵的例子：
1＋2＋1＝4＝22
1＋2＋3＋2＋1＝9＝32
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25＝52
1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36＝62
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝81＝92
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝169＝132
不用多寫了，你就可以發現，凡是從1加到某一個數(即n)，再返過來加到1，結果都等於到頭那個數(n)的平方。如果你記住了這個有趣的關係，那麼，對於任意的這樣相加法，都可以很快答上來了。我們不是談到過大數學家高斯的故事嗎?老師出了從1加到100等於多少的題目，小高斯很快答出來是5050。如果把這個題目再變得難一點，問從1加到100，再加回到1，一共是多少?你也很容易知道這一定是1002＝10000了。