第八章
怎樣巧算圓木堆垛
在貨棧或倉庫裏，物品的碼放都是很有次序的，這樣不僅整齊美觀，取用方便，而且也易於統計。
有一堆長短粗細相同的圓木堆放在露天倉庫裏，按以下規律排列：最下邊一層是10根，以後每一層比下一層少一根，最上邊一層是1根，這堆圓木一共有多少根?
有的同學說，圓木堆垛的橫截麵是一個三角形，底層是10根，高是10層，列式為：10×10÷2=50(根)，這堆圓木共50根。
也有同學說，圓木堆垛的橫截麵是一個梯形，下底層是10根，上底層是1根，高是10層，列式為：(10+1)×10÷2=55(根)，這堆圓木共55根。
這兩個答案哪個對呢?讓我們來分析一下。
假如你在這堆圓木旁邊，再並排地放上同樣的一堆，隻是上下倒置，每一層的根數，恰好是底層與頂層根數的和，底層是10根，頂層是1根，每一層的根數是10+1=11(根)，一共是10層，11×10=110(根)，這110根是兩堆圓木的總根數，原來的這堆圓木的根數就是這兩堆圓木總根數的一半，110÷2=55(根)。由此說明，認為“這堆圓木共50根”的答案是錯誤的。錯誤的根本原因在於，不應該把圓木堆垛的橫截麵看成為三角形，雖然它的上底很短，數值很小，是“1”，但它畢竟不是“0”，隻有當梯形的上底逐漸縮短，數值成為“0”時，梯形就轉化成三角形了。
一般的計算公式是：
(底層根數+頂層根數)×層數2
如果有一堆鋼管堆放在地上，第一層是8根，底層是20根，每層仍是依次減少一根，要求這堆鋼管總數是多少根?也可以用這個公式來計算：
(底層根數+頂層根數)×層數2=總根數
=(20+8)×132=182(根)，這堆鋼管總數是182根。
“巧算圓木堆垛”的方法還可以推廣到其它圓柱形物體的計算上去，如鉛筆廠計算鉛筆的支數、水泥管廠計算水泥管數等。除此以外，你能不能用這種巧算的方法去計算：101+102+103……+198+199+200的和呢?把101看作頂層的數，200看作底層的數，100個數是層數，列式為：
(101+200)×1002=15050。其實，這道題還可以這樣算：1505×100=15050，你猜猜，這又是怎麼想的呢?
哪些燈還亮著
有一百盞電燈，排成一橫行。從左自右，我們給電燈編上號碼1，2，3，……，99，100。每一盞燈由一個拉線開關控製著。最初，電燈全是關著的。
另外，還有一百個學生。每一個學生走過來，把凡是號碼是1的倍數的電燈的開關拉了一下；接著第二個學生走了過來，把凡是號碼是2的倍數的電燈開關拉了一下；第三個人再走過來，把凡是號碼是3的倍數的電燈上的開關拉了一下，如此下去，最後那個學生走過來，把編號能被100整除的電燈上的開關拉一下。這樣做過之後，問：“哪些燈是亮著的?”
這簡直令人眼花繚亂，不易理出頭緒，方法不當就更不得要領。
正確的思考是：由於最初所有的電燈都是關著的，所以被拉了偶數次開關的電燈，仍然是關著的；隻有那些被拉了奇數次開關的電燈才是亮著的，因此，人們隻須去關心那些被拉過奇數次開關的電燈。
按照問題所規定的法則，編號為n的電燈被拉過幾次呢?要看整數n中有多少個正因數。如果n不是平方數，那麼n的全部正因數的個數是偶數，這盞燈是關著的。隻有當n是平方數時，n的全部正因數個數是奇數，這盞電燈被拉過奇數次，因此它是亮著的。