第九章
從“猴子分桃子”談起
海灘上有一堆桃子，這是五個猴子的財產，它們要平均分配。第一個猴子來到海灘，它左等右等，未等來別的猴子，便把桃子平均分成五堆，還剩一個，它就把剩下的一個扔到海裏，自己拿起了5堆中的一堆。第二個猴子來了，它把剩下的桃子分成五堆，把剩下的一個又扔掉了，然後拿起一堆。以後每個猴子來了都是如此辦理，問原來至少有多少個桃子?最後海灘上至少剩下多少桃子?這就是著名的猴子分桃子問題。著名的英國物理學家狄拉克曾提出了一種解法，相當巧妙地解決了這個問題。
設原來桃子N個，而五個猴子分得的桃子數分別為A１，A２，……，A5，則得到
N=5A1＋1
4A1=5A2＋1
4A2=5A3＋1
4A3=5A1＋1
4A4=5A5＋1
經過一係列的代換，就可以得到N=3121，4A5=1020
其實這個答案是受到問題中“至少”這一前提限製而得到的，如果不考慮“至少”這個條件，符合前麵關係式的答案是很多的。例如N=6246，4A5=2044；N=15621，4A5=5116等等。
但是使人感興趣的不在於所得答案的多少，而是在於這類問題是怎樣解出的，原來“猴子分桃子”就是這樣的一個數學問題，若A0=N，A1=15(N-1)，5An＋1=4An-1
求An
解：由5An＋1=4An-1，5An=4An-1-1
兩式相減得：5(An＋1-An)=4(An-An-1)
令Bn=An＋1-An則有：Bn=45Bn-1
因此：
An= (An-An-1)+(An-1-An-2)+……+(A2-A1)+A1
=Bn-1+Bn-2+……+B1+A1
=1-(45)n-11-45B1+A1
=5B1［1-(45)n-1］+A1
又由於A1=15(N-1)
A2=15［45(N-1)-1］
則B1=A2-A1=-125(N+4)
於是：An=-15(N+4)［1-(45)n-1］+15(N-1)
=-1+4n-15n(N+4)
特別是當n=5時，有55(A5+1)=4４(N+4)。由於5與4互質，則N+4必為55的整數倍，即N+4=5５·P(P∈Z)，同時A５+1=4４·P令P=1即可求出前麵的結果。
從上麵的解法，我們看到，如果給定了必須的數列｛an｝的前幾項，再由給定的關於數列若幹連續的關係式，就可以由關係式推出一個新數列。因此，我們把這種關係式叫數列的逆推公式，由逆推公式得到的這種數列叫作逆歸數列。逆歸數列由於逆推公式的不同，因此求它的通項的方法也比較複雜。“猴子分桃子問題”在研究逆歸數列上確實起到了開路先鋒的作用。
為什麼烏鴉不一定喝到水
還在上小學的時候，大概我們就知道了聰明的烏鴉投石喝水的故事。那時候，無不為烏鴉的辦法叫好，沒有人去考慮烏鴉是否真正能喝到水的問題?現在，我們從幾何學體積計算的角度，倒真要研究研究這個問題了，烏鴉一定能喝到水嗎?