從上麵兩個例子我們知道，“三人行，必有我師”雖然是孔子自謙的一句話，但從實際情況來看，這句話是很有道理的。
為什麼說音樂中也要用到數學
我們知道聲音是靠振動產生的，音調的高低是由振動的頻率決定的。一首優美的樂曲是由許許多多互相“協調”的音按一定的時值、力度同時或先後發出的。音的“協調”是人類心理上的感覺，但人們很早就發現，它有切實的物質基礎，或者說有數學解釋：當兩個或多個音（振動）的頻率成簡單的整數比時，它們是“協調”的。最簡單的整數比當然是1∶2。在音樂上如果兩個音的頻率比成1∶2，頻率較高的那個音就是頻率較低那個音的高八度同名音。例如，“1”（do）音的振動頻率加倍，就得到“1·”音。2∶3的簡單性僅次於1∶2，“1”音振動頻率的32倍得到“1”上方純五度的“5”音……從這樣的角度考慮問題，人類發明了音樂上的“純律”七聲音階。下表列出“純律”七聲音階中各音的頻率（假定“1”的頻率為520赫茲，頻率全部隻取整數）以及各音與“1”的頻率比：
音階1234567〖〗1頻率5205856506937808679751040與“1”的頻率比189544332531582由上表還可以得出音樂中最常用的兩種三和弦（三個音組成的和弦）的頻率比：雄渾、明朗的大三和弦（如1－3－5和4－6－）三個音的頻率比為4∶5∶6；優美、深沉的小三和弦（如6－1－3和3－5－7）三個音的頻率比為10∶12∶15。這兩類三和弦中三個音組成簡單的整數比，所以非常和諧。
“純律”七聲音階的發明可以追溯到公元前1200年我國的周武王時代。我國後來又發明了非常簡便易行的計算音階頻率的方法——“三分損益法”，被後人譽為音樂史上的驚人發現。“三分損益法”是這樣計算頻率的：設弦的全長的發音是“1”，棄去弦長的13（即“三分損一”），剩下23，頻率變成“1”的32，這是“5”音的頻率；以“5”為基礎，弦長增加13（即“三分益一”）而成為“5”音弦長的43，頻率變成“5”音的34，得到“2”音，它的頻率是“1”音的32×34＝98；再“三分損一”得“6”，“三分益一”得“3”……如此交替“損”“益”下去，得到全部七音。這樣得到的七音頻率的誤差與“純律”七聲音階的頻率誤差在25％之內。
“純律”七聲音階雖然非常好地解決了音的“協調”問題，但卻不能解決轉調問題，因為轉調後出現的另外一組音階的某些音的頻率與原調音階中音高相近的音的頻率之間存在微小的差別。為了解決轉調問題，又能基本保持“純律”七聲音階的各音的頻率，人們又發明了“十二平均律”，即把一個八度音程平均地分成十二個相等的半音，得到半音音階1、＃1、2、＃2、3、＃3、4、＃4、5、＃5、6、b7、7（記號“＃”稱為“升號”，表示音調升高半音；記號“b”稱為“降號”，表示音調降低半音。當然，＃1＝b2，以此類推）。這裏講的“平均”是幾何平均，即每一個音的頻率和它前麵一個音的頻率之比都相等。我們很容易算出這個頻率比應為122≈1059463。下表將按“純律”和“十二平均律”算出的七聲音階的頻率做一對比，可以看出其誤差都在08％之內：
音階12345671·“純律”頻率5205856506937808679751040十二平均律頻率5205846556947798749821040鋼琴、豎琴等樂器都是按照十二平均律設定音高的，而銅管樂器則是按照“純律”設定音高的。由於兩者之間的誤差甚小，這些樂器在樂隊中都能和平共處，演奏出美妙的樂曲。