在畢達哥拉斯學派看來，音樂是一種能使靈魂得以淨化從而達到解脫的手段，這與對幾何形式和數字關係的沉思使精神得以解脫殊途同歸。音樂作為人類藝術寶庫中的重要組成部分，各個民族都對其有著自己獨特的領悟和見解。畢達哥拉斯學派的成員在研究音樂時就發現了一個特殊的規律，他們注意到排簫或笛子等樂器的音階的音符和振動彈簧的長度間存在有某種數學關係。如特定長度的氣柱或彈簧可以發出某個音，若長度減到一半，則發出高八度的音。長度比為2∶3時，則發出高五度的音，比率為3∶4則發出高四度的音。畢達哥拉斯據此進行了實踐和計算，推測認為，八度音及五度音是和諧音，12、8、6是“調和級數”。他認為這是很重要的，並把這個思路推廣到幾何學中。例如，他聲稱立方體是幾何學意義上的和諧體，因為它有6個麵、8個角和12條邊。
畢達哥拉斯學派的第二個理論與直角三角形有關。有說法認為，著名的畢達哥拉斯定理可能在畢達哥拉斯本人發現並證明出來之前，就已經為他所熟知了，而這點與他在埃及、巴比倫的經曆有關，但事實是巴比倫人或許是知道這些數可以是3、4、5或者6、8、10，或者任何其他3個能夠這樣組合的數，知道其中最大的數的平方是另外兩個數各自平方之和。但他們並未給出一個無懈可擊的證明和係統的理論，而畢達哥拉斯在公元前500年前後將他的發現推而廣之，這被認為是一次非同尋常的進步。
似乎每一個執著理想的學者，都有著異於常人的耐性和對世界的好奇心，比如畢達哥拉斯。據說，當他發現並證明出以他名字命名的這個定理時，也有不少趣聞，其中一個故事說這件事發生在他的朋友家。
有一天，畢達哥拉斯應邀去做客。在主人忙於應付別的客人無暇顧及他時，這位習慣觀察思考的人，突然對朋友家地麵上一塊塊漂亮的正方形大理石產生了興趣。他再沒心思聽別人的閑聊了，慣性使他開始陷入沉思。腳下這些排列有序、大小如一的大理石，它們彼此間又有怎樣的關於數的關係呢？一個個疑問在他的腦海裏浮現出來。
他越想越興奮，完全沉浸到自己的思考中，後來索性蹲到地上，拿出筆尺。他在4塊大理石拚成的大正方形上，以每塊大理石的對角線為邊，畫出一個新的正方形，發現這個正方形的麵積正好等於2塊大理石的麵積。接下來，他又以2塊大理石組成的矩形對角線為邊，畫成一個更大的正方形，而這個正方形正好等於5塊大理石的麵積。他耐心而細致地進行了反複演算，並根據自己的計算結果得出一個結論：直角三角形斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和。著名的畢達哥拉斯定理就這樣產生了，他興奮地跑回家，一把擁抱住自己的妻子西雅娜，歡呼道：“我終於發現了！”據說，為了慶賀自己的發現，畢達哥拉斯甚至殺了100頭牛來祭祀廟宇裏的神像。於是，我們熟知的畢達哥拉斯定理又有了另一個名稱“百牛定理”。
據說，在這次祭會上，畢達哥拉斯還發表了演講，向人們描繪了一幅畫麵：數可以產生點，點可以產生線，線可以產生出平麵圖形，平麵圖形產生出立體圖形，立體圖形使人感覺到了一切物體。基於此，他又提出了水、火、土、空氣是世界組成元素的觀點。這四種元素以各種不同的方式相互轉化，更進一步創造出有生命的、有靈魂的、球形的世界。所以，他認為，認識世界就是要認識支配世界的數。
在畢達哥拉斯定理之外，這位偉大的學者還發現，三角形的三個內角之和等於兩個直角之和。他同時還證明出“平麵可以用正三角形、正四邊形或正六邊形填滿”，後來的鑲嵌幾何學在此基礎上得出進一步的結論：除了上述情況，平麵不可能用其他正多邊形來填滿。
在畢達哥拉斯的時代，他以及他的學派和所有其他希臘人一樣，對事物形狀懷有一種固有的感情，這導致了他們對“形數”，即通過圖案在計算中得到的數產生極大的興趣。他們因此發現了“完全”的數，即一些自身等於不同因數之和的數。例如6（因為6=1+2+3）、28（1+2+4+7+14），等等，這些數被畢達哥拉斯學派的信徒們所推崇。“親和數鏈”也是他們的一大發現成果。所謂“親和數”即兩個數分別是對方因數之和的一對數。例如，220和284是親和的（因為284的因子是1、2、4、71、142，它們加起來的和等於220，而220的因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，其和等於284）。令人驚歎的是，直到兩千多年後，第二對親和數（17926，18416）才由法國數論學家費爾馬找到，他的同胞、數學家兼哲學家笛卡爾則找到了第三對。在電子計算機問世以前，第二小的一對親和數（1184，1210）則是由19世紀後期一位16歲的意大利少年帕格尼尼找到的。
這種對數的神化也影響到了畢達哥拉斯學派對天文現象的認識。他們認為天體的運行也遵循著一種數的和諧，即各類天體環繞地球所需的時間之間也有某種固定的數字關係。但令人費解的是，這種對數的無上崇拜並沒有多少純實用層麵的意義，充其量它向世人展示了畢達哥拉斯學派成員在發展算術和處理數值量方麵的卓越能力。由於畢達哥拉斯學派的思想在根本上是神秘主義的，他們給數字及其關係賦予了絕對的甚至神聖的地位。也許就像有的哲學家所聲稱的那樣，數學是一門比其他任何知識形式更為純粹的學科。盡管如此，今天科學家們卻是把它作為一種強大而又靈活的工具，用來說明並預測各種自然現象。而事實似乎也表明，數學正通過這種方式來證明它本身所具有的真正價值。
愛智慧的人
在現代西方主要語言裏，“數學”一詞來源於古希臘語Mathema。在畢達哥拉斯之前，這個詞代表的是“可以學到的知識”，但是畢達哥拉斯時代，它被賦予了“數學”的涵義。不過這僅限於畢達哥拉斯本人及其學派的“自然數的學問”，相當於算術。而“數學”的現代意義可能出現在文藝複興以後。
畢達哥拉斯數的世界，是一個整數世界，隻有自然數。他甚至對10以內的數都賦予了某種特殊意義，比如，1是一切數的源泉，是陽性中的至高者--阿波羅；2是眾神之母；3代表了三維，後來被基督教用來表示三位一體；4象征著一年四季和人的四大能力--智性、知識、判斷和感覺；6不僅完美，且是神靈的數；10是前4個數之和，完美又神聖等。也許，在畢達哥拉斯看來，關於數的一切理念都應該是完美的，包括音樂，甚至宇宙中的星體。
在畢達哥拉斯的整數世界裏，宇宙間的各種關係都可以用整數或整數之比來表達，這一觀點被畢達哥拉斯學派奉為神明。據說，畢達哥拉斯有一個學生叫希帕索斯，他在研究正方形時，發現對角線的長，既不是整數，也非有理數，不能用整數或整數比來表示，而是一個無限不循環的小數。希帕索斯的這一驚人發現，直接導致了數學史上第一個無理數 的誕生。但與此同時，它也極大動搖了畢達哥拉斯學派的信條--“宇宙間的一切都能歸結為整數或整數之比”，引起該學派的大恐慌。而後來，天真的希帕索斯還在與別人的一次爭執中無意透露了他的新發現，結果遭到了被投向大海，葬身魚腹的厄運。畢達哥拉斯學派竟然發現了新數，這個驚天奇聞很快引起了所謂“數學史上的第一次危機”。
無論上述傳說是真是假，畢達哥拉斯的數學理念對後世產生了深刻影響，這一點是毋庸置疑的。特別是自文藝複興以來，歐洲對希臘文明的推崇與複興，使畢達哥拉斯的數學和哲學觀點得到廣泛傳播。黃金分割、和諧比例說被應用於美學，畢達哥拉斯甚至被很多人文主義者推崇為（包括數學在內的）“精密科學之父”。而他從數學的角度出發去解釋世界，這一點更是從總體上確立了自然科學的發展方向，影響了後世的科學家。受他影響或是宣稱自己為畢達哥拉斯學派的科學家、學者不勝枚舉，如哥白尼、伽利略、萊布尼茨等。
有人說，畢達哥拉斯一生做了兩件事：從事神職工作和興辦學校。和與他幾乎同時代的孔子一樣，畢達哥拉斯一生也致力於傳道授業。從這點來看，也許他不是一個純粹的數學家，傳說他是一個非常優秀的老師。有一次，他遇到一位非常努力用功的窮人，他想教對方學習幾何，於是就跟人家說：“如果你願意跟我學習一個定理，我就贈給你一枚錢幣。”看在錢的份上，樂不可支的窮人痛快地答應了他。學生進步飛快，過了一個學期，他對幾何產生了強烈的興趣，反過來要求畢達哥拉斯教快一些，還建議：如果老師多教一個定理，他就給老師一個錢幣。結果畢達哥拉斯沒用多長時間，又把之前他給學生的錢全部收回了。
哲學家一詞的最初含義是指“愛智慧的人”，哲學就是“追求智慧的學問”，而賦予這兩個詞這種含義的第一人正是畢達哥拉斯。據說，有一次，畢達哥拉斯同弗琉斯的統治者雷翁談話。雷翁對他的才學和雄辯之風大力盛讚，並詢問他的技藝是什麼。畢達哥拉斯回答說：“我沒有什麼技藝，隻是一個愛智慧的人（哲學家）。”
對於他的“愛智慧的人”，畢達哥達斯曾有這樣一個著名的比喻。他說：在現實生活裏有三種人，正像到奧林匹克運動會上來的也有三種人一樣。最高等的一類是那些隻觀看比賽的人們，次之的是那些來為比賽而比賽、奪取桂冠的人，最低等的是那些來做買賣的人。同樣，在現實生活中，有些人沉淪於功名祿位，有些人則淪為金錢的奴隸，這其中僅有少數人作出了最好的選擇，他們將自己的精力和時間用來思考自然，從事科學研究。最後，他們成為愛智慧的人，這就是哲學家。
畢達哥拉斯一生追求智慧，實踐著自己作為哲學家、數學家的理想，但最終卻倒在了政治傾軋和別人的妒忌之下。他的死因據說是因為他涉及並參與了一些政治活動，也有說法認為他是因為拒絕一位權貴加入自己的團體而遭到迫害。公元前500年左右的一天，畢達哥拉斯和他的弟子在一次講學中，被一夥別有用心之徒放火焚燒了他們講學的房子。他在弟子們的攙扶下逃出火海，卻在逃跑的途中經過一塊豆田。畢達哥拉斯的腳步停下了，他寧願被逮住打死也不願踐踏這片田地。因為在他們的戒律裏有那麼一條，豆子是神聖之物，他們不能食之，自然更不能踐踏。後來，他被追上來的人打死了。不過，另外還有說法認為，他僥幸逃到了意大利南部塔蘭托灣的梅泰彭西，在那裏禁食40天後死於繆斯神廟。
畢達哥拉斯去世大約50年以後，沿南部意大利海岸所有的希臘城市發生了一係列激烈的民主革命，畢達哥拉斯學派受到攻擊，他們的會議場所被焚毀，許多成員被迫逃散。他們有的往東北逃到塔蘭托，有的去往希臘大陸。那些在塔蘭托的畢達哥拉斯學派成員，仍然堅持著他們的活動，並一直持續到公元前350年前後。
大事年表
公元前580年 畢達哥拉斯出生在薩摩斯島上(一說是公元前560年)。
公元前560年 前往米利都求學，拜訪泰勒斯遭到婉拒。後轉道得洛斯，向菲爾庫德斯學習詩歌、文學等。
公元前550年 回到薩摩斯島。不久，因怪異的裝束和不羈的言行舉止，受到當地人的排斥，隨後前往埃及等地遊曆。
公元前550年 在此後的十餘年間，遊曆了埃及、巴比倫等地，學習當地文字、數學等知識，增長不少見聞，後重回薩摩斯島。
公元前530年 在薩摩斯島創立“半圓學校”，招收門徒，講課授學，宣傳個人言論。後迫於當地壓力，再次離開薩摩斯島，前往意大利。此後，再未回到過家鄉。
公元前529年 在意大利克羅內托結婚，在此定居下來。
公元前529年 在意大利克羅內托創立畢達哥拉斯社團。此後時間裏，致力於哲學、教育等領域的研究與活動，並積身參與到當地城市建設的事務當中。
公元前500年 從公元前529年之後到這一時期，發現並證明出畢達哥拉斯定理，提出“萬物皆數”等理念。在他的思想領導下，畢達哥拉斯學派形成了自己一套完整的數字理論。
公元前500年 因政治鬥爭波及受到打壓，出逃克羅托內，後在梅泰彭西逝世。
公元前450年 畢達哥拉斯學派受到政治衝擊，被迫解散。
公元前400年 畢達哥拉斯學派成員發現無理數，由此引發第一次數學危機。