微積分被認為是繼解析幾何之後，數學發展史上一次裏程碑式的進步。作為一種數學思想，它引入了“極限”和變量的概念。它的出現，使人們能更好地運用數學這種抽象方法描述我們身處的世界，以及那些用代數理論無法解釋得清的運動現象。
德國數學家萊布尼茨正是這門偉大學科的創立者之一。17世紀後半葉，萊布尼茨和牛頓在前輩工作的基礎上，分別獨立建立了微積分。盡管兩人的理論各有優缺點，但後世普遍認為萊布尼茨所創設的微積分符號遠遠優於牛頓的符號。這對微積分的發展產生了極大影響，而這些符號直到今天還在被我們廣泛使用。
義無反顧的抉擇
戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨，1646年7月1日出生於德國東部萊比錫城。他的父親任教於萊比錫大學，母親是一位法律教授的女兒，萊布尼茨可謂出身書香門第。
也許是從小受到父母的熏陶，萊布尼茨在潛移默化中愛上了讀書學習。他的父親弗裏德裏希·萊布尼茨在他6歲時不幸離世，但他給幼小的兒子留下了一筆寶貴的精神財富--他豐富的藏書。萊布尼茨的母親從此一肩扛起教育兒子的重擔，而萊布尼茨由此開始了和書籍的不解之緣。他廣泛涉獵了古希臘和羅馬的學術著作，積累了厚實的文化基礎。
8歲時，萊布尼茨被送往尼古拉學校讀書，學習拉丁文、希臘文、修辭學、算術、邏輯、音樂以及宗教等課程。從小開始的多語種學習，使他具備了超出一般兒童的思維能力。萊布尼茨後來在回憶中說，幼年時，他就能每天用拉丁文寫下300句聖詩，而且不漏掉一個字母。1661年15歲的萊布尼茨進入萊比錫大學學習法律，在大學裏聽了教授講授的歐幾裏得的《幾何原本》，從此對數學產生了濃厚的興趣。17歲時，他在耶拿大學有過一段短暫的數學方麵的學習，並得到數學家特雷維和魏格爾的指引和教導。在這裏，他的思想發生了重大變化。17世紀，德意誌國家落後分裂的現狀以及新畢達哥拉斯主義的影響，使這個17歲的青年在思想上產生了巨大的動蕩，這為他日後在哲學和自然科學領域的突破奠定了思想基礎。
1664年初，萊布尼茨以論文《論法學之艱難》獲得哲學碩士學位。但時隔不久，他的母親離開了人世，這一年他18歲。雖然母親已過世，但其深深影響了萊布尼茨的思想和性格。
1665年，年僅19歲的萊布尼茨向萊比錫大學提交了他的博士論文《論身份》。但是，審查委員會以他太年輕而拒絕授予他法學博士學位。萊布尼茨因此憤然離開萊比錫，轉而前往紐倫堡附近的阿爾道夫大學。1666年，他在阿爾道夫大學獲得法學博士學位，並被聘請為該校法學教授。
同年，萊布尼茨發表了他的首篇數學論文《論組合術》。在這篇文章中，萊布尼茨試圖用數學推理的方法證明，理論的真理性應當歸結於數學計算之功。這篇文章是萊布尼茨作為數理邏輯創始人向世界發出的先聲，盡管此文難稱大師之作，但瑕不掩瑜，它終歸沒能遮蔽這位年輕學者的鋒芒。他的智慧之光在文章的字裏行間熠熠生輝，而且這篇文章的問世似乎也預示了一個理性和科學並俱，又有著細致嚴謹的思維和分析能力的科學家、哲學家的誕生。萊比錫大學的教授看到了這一點，他們給予這篇論文很高的評價。
萊布尼茨的博學多識給校方留下了深刻的印象，但是，年輕人早已厭倦了封閉、單調和沉悶的學院生活。他的心裏向往的是充滿朝氣和活力的現實世界，而不願把自己的青春時光蹉跎在閉塞的學院大門內，尤其是那些腐朽陳舊的經院教條式的學術中。他因此毅然而然拒絕了校方向他伸出的橄欖枝，而準備投身到更加新鮮多彩的廣闊天地間，去實現自己的人生價值和抱負。
在當時的一位政界人物薄因堡男爵約翰·克裏斯蒂文的介紹下，萊布尼茨投身政治，開始在美茵茨選帝侯大主教的高等法庭供職，為大主教效力，並很快被提升到上訴法官陪審員的位置。得益於和這位薄因堡男爵的關係，萊布尼茨與全歐洲的有識之士建立了通信聯係。與這些學者、政界人士等的交往中，他們的通信內容所談論的話題幾乎涵蓋了所有領域，包括數學、法學、政治學、文學、曆史學、語言學、人類學等。通過和這些人的交流，萊布尼茨自身的思辨水平、理論水平日益提升，而且大大擴展了他的知名度。
一個人的進步離不開與他人的溝通和交流，而學術上的研究更是少不了這樣的相互切磋與爭辯。交流使人思維嚴謹，視野開闊，而閉門造車隻能使人作繭自縛。對這些相互往來的信件，萊布尼茨非常珍惜，其中有一千五百多封都被他細心地保留了下來。正是靠這些信件，加上大量的私人筆記和原稿，我們才對他的思想和著作以及他本人有了更多更深入的了解。
萊布尼茨在法庭供職期間，常以律師身份專門負責處理法律外交事務。由於工作之需，萊布尼茨經常在各大城鎮之間往返奔波。工作的同時，他仍然念念不忘自己的數學研究。我們恐難想象，萊布尼茨乘著咯咯作響的破舊馬車，匆匆地奔跑在17世紀歐洲的牛車道上，一邊忍受著馬車的劇烈顛簸，一邊聚精會神地演算他的那些複雜公式的情景。這其中有多少為他後來的成就鋪就了道路，我們不得而知，但他對數學的熱愛讓人油然而生敬意。
出使巴黎
1672年，為了阻撓法國國王路易十四入侵荷蘭和西歐其他日耳曼國家，26歲的萊布尼茨奉命出使巴黎，試圖遊說路易十四放棄進攻計劃。然而他在巴黎期間沒能得見國王一麵，未能向國王呈上他的進攻埃及的計劃，但卻得以進入巴黎知識圈。其實，萊布尼茨早在前一年即1671年就發表了兩篇物理學方麵的論文，並分別寄給了巴黎科學院和倫敦皇家學會，引起了歐洲學術界對他的注意。
在巴黎滯留期間，法國天才數學家帕斯卡的事跡給了萊布尼茨極大鼓舞，使他樹立了在高等數學領域有所建樹的決心。同一時期，他結識了哲學家阿爾諾、馬勒伯朗士和荷蘭數學家惠更斯，並設法接觸到了法國哲學前輩帕斯卡和笛卡爾未曾公開問世的著作，其中後世出版的笛卡爾的某些著作正是源於萊布尼茨的手抄本。雖然萊布尼茨也對帕斯卡和笛卡爾的哲學體係作了一些研究，但這一時期他的主要興趣還是集中在了數學上。
荷蘭數學家惠更斯是一位很有數學天分的學者，他曾在22歲時就發表了關於圓周長、橢圓弧以及雙曲線計算的理論著作，並且在概率論和微積分領域有著自己的研究成果。萊布尼茨在與惠更斯的交往中深受啟發。後者幫他打開了高等數學的殿堂之門，他在惠更斯的指導下，利用業餘時間潛心研究笛卡爾、費爾馬、帕斯卡等人的著作，領略著高等數學獨特的魅力。也正因為如此，在巴黎的這段時間被認為是萊布尼茨在數學領域“發明創造的黃金年代”。在此期間，他開始在頭腦中構築他的微積分理論大廈的基本特征，並在以後長期研究中一直致力於這種方法的創新。
1672年10月，美因茨選帝侯去世，萊布尼茨失去了職位和薪金，他隻能依靠做家庭教師維持生計。他四處尋找門路，以期謀得一個外交官之職，後來又寄希望於法國科學院，期待能在此獲得職位，但均未成功。無奈之下，萊布尼茨接受了漢諾威公爵約翰·弗裏德裏希的邀請，轉而為這位漢諾威公爵效力。
1673年1月，萊布尼茨奉命前往英國倫敦，此行目的是促成英國與荷蘭之間的和解。與之前巴黎之行的結果大同小異，萊布尼茨斡旋未果。但是，趁著這次出使之際，他和英國學術界一些知名學者建立了聯係。除了見到和他已經有了3年通信交往的英國皇家學會秘書、數學家奧登伯，他還結識了物理學家胡克、化學家波義耳等人。1673年萊布尼茨被推薦為英國皇家學會會員，通過與來自不同國家諸多學者之間的交流與學習，他在數學和自然科學方麵表現出了愈加濃厚的興趣。
發明乘法演算器
萊布尼茨曾經係統闡述了二進製計數法，他還是現代計算機器的發明先驅者之一。
16至17世紀是歐洲科學技術迅猛發展的一個時期，天文和物理學上的進步為數學的發展帶來了動力。1642至1644年間，帕斯卡發明了一種加法器，這被認為是世界上最早的計算器。帕斯卡逝世後，萊布尼茨發現了一篇由帕斯卡親自撰寫的論述“加法器”的文章，這大大激發了他的發明欲望。1672年，萊布尼茨獲得了一個好機會，美因茨帝選侯派他出使巴黎。萊布尼茨認為這是一次把他的計算器轉化為現實的契機，於是一到巴黎，他就找到一些著名的能工巧匠和機械設計方麵的行家裏手，開始打造他的計算器。
在他的指導下，一台更加完善的機械計算機問世了，萊布尼茨將他的這項發明叫“乘法器”。他的“乘法器”基本上脫胎於帕斯卡的計算器，是一個約1米長，內部裝有一係列齒輪機構的大家夥。萊布尼茨在帕斯卡計算器的基礎上，為它增添了一種叫“步進輪”的裝置。步進輪是一個長圓柱體，其表麵開有9個鋸齒狀的槽口；它的旁邊另有一個小齒輪可以沿著軸移動。在小齒輪的移動過程中，它的槽口會依次和步進輪的槽口相齧合。當小齒輪轉動1圈時，步進輪會根據它與小齒輪齧合的齒數，轉動1/10圈；當小齒輪轉動2圈時，步進輪會轉動2/10圈……一直持續到9/10圈。萊布尼茨的改進，使他的這個手搖柄計算器不僅能夠重複地做加減法，還能進行乘、除以及開方運算。
1673年，萊布尼茨前往英國皇家學會，並把自己的新發明帶在身邊。這個計算器引起皇家學會極大興趣，萊布尼茨自然也十分高興，他甚至還想著用一個刻有“超人”字樣的紀念章來紀念自己的發明。這個乘法器為人們節省了相當大的勞動，在會計、管理、測量、科學研究以及數學用表製作等方麵發揮了重要作用。它不僅提高了這些領域的工作效率，還有效提升了工作的精確程度。這在當時的社會環境下，其產生的巨大意義是我們今天所難以想象的。大家知道，我們現代意義上的電子計算器是在20世紀的40年代中期才出現的。幸運的是，萊布尼茨所發明的這些計算器中，有一個很幸運地被保存了下來，現在存放在漢諾威國家圖書館中。
因為所處時代和科技水平的局限，萊布尼茨發明的乘法器采用的仍然是十進製，但他率先為計算機的設計係統地提出了二進製的運算法則，為計算機的現代發展奠定了堅實的基礎。
建立微積分
萊布尼茨被譽為是“德國的百科全書式的天才”，他最為人熟知的成就是和牛頓分別獨立創立了微積分。
16至17世紀，歐洲的資本主義生產空前發展，生產力迅速提高。伴隨機械的大量應用、航海事業的發展，麵臨的新問題也層出不窮。實際生產中的問題迫切要求物理學、力學、天文學等基礎學科的發展，而這些學科則倚重數學這門工具學科來提供更為先進的研究方法。然而，當時經院哲學盛行的歐洲主流學術界顯然難當重任，一些醉心於自然科學領域的業餘研究者卻紛紛衝破藩籬，開辟出了一條條獨特的通往科學真相的途徑，並取得了這一時期最輝煌燦爛的學術成果，萊布尼茨就是這樣的成功者之一。