關於微積分的思想，最早可以追溯到古希臘時期阿基米德等學者提出了計算麵積和體積的方法理論。但是，直到萊布尼茨和牛頓之前，學者們都是將微分和積分作為兩種不同的數學運算方式、兩類不同的數學問題來單獨研究的。和萊布尼茨、牛頓幾乎處於相同時代背景下的意大利數學家卡瓦列裏、英國數學家巴羅、沃利斯等人，雖然也通過一係列的求麵積(積分)、求切線斜率(導數)的研究獲得了一些重要結果，但這些結果都各自獨立，且互不連貫。萊布尼茨和牛頓在這些前輩的研究基礎上，找到了微分和積分二者之間的內在聯係：它們是兩種互為逆轉的運算，而這個發現正是建立微積分的關鍵。牛頓於1665至1666年間建立了自己的流數學理論，即他的微積分學；萊布尼茨在1673至1676年也獨立創立了微積分。雖然牛頓的學說比萊布尼茨早了10年，但萊布尼茨比牛頓早3年公開發表了自己的學術著作。
1635年，卡瓦列裏出版了《不可分連續量的幾何學》一書，他在書中用不可分量製訂了一種形式簡單的微積分，而法國數學家費爾馬在求函數的極大和極小值時，也得出了接近於微積分的計算結果。但萊布尼茨關於微積分思想的最早記錄，則出現在他1675年的數學筆記中。他在研究巴羅的《幾何講義》過程中發現，微分和積分存在著互逆關係。他同樣從幾何學的求積和球切線問題出發，提出了自己的微積分理念。在萊布尼茨的微積分理論中，他把微分看成是變量相鄰二值的無限小之差，而積分則被看成是以變量分成的無窮多個微分之和。
1676年10月，萊布尼茨離開巴黎。他在倫敦逗留了短暫時間，繼而前往荷蘭。在荷蘭期間，他見到了生物學家列文虎克和哲學家斯賓諾莎，和這兩位學者的交流讓萊布尼茨在哲學領域獲益匪淺。1677年1月，萊布尼茨抵達漢諾威，擔任布倫茲維克公爵府法律顧問兼圖書館館長，此後漢諾威成為他的永久居住地。在繁忙的工作之餘，萊布尼茨仍然堅持在哲學和各種學科領域的研究。他博覽群書，集思廣益，1682年與門克共同創辦了在近代科學史上頗有影響的拉丁文科學雜誌--《教師學報》。
1684年，萊布尼茨發表了一篇題目冗長又奇特的文章《關於極大極小以及切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。這是他的第一篇關於微分學論文，同時也被認為是曆史上最早公開發表的關於微分學的理論文獻。這篇僅有6頁的文章，雖然被評價為內容空洞、說理含糊，但卻具有劃時代的意義。在這篇論文中，萊布尼茨介紹了微分的定義，函數的求和、求差以及乘、商和乘冪的微分法則，論述了一階微分不變形式的定理，二階微分的概念，以及微分學在研究極值、求切線、求曲率和拐點等方麵的實際應用價值。1686年，萊布尼茨又發表了關於積分學的著作。1694年，又發表了積分常數的相關論文。
微分學作為一門數學門類，它的誕生卻始於人們在物理學研究中的一個問題。當時的物理學家在對非勻速直線運動進行研究時發現，運動中的質點，其瞬時速度與質點本身在平麵曲線上任意一點處的切線方向之間，存在著某種相互關聯且互相影響的變化關係。因為缺乏一種有效的數學方式把這個關係客觀地描述出來，物理學家們也束手無策。微分學的問世，幫助人們解決了這一問題，同時也向人們提供了一種在日後解決類似問題時，來確定某一量在任一瞬間變化比率的一般方法。由於在這個一般方法中，這個量在和另一個量的相互關係中是連續變化的，因此它被看成是另一個量的函數。特別值得一提的是，第一個在現代意義上使用變量的函數一詞之人，正是萊布尼茨。
符號邏輯之夢
關於萊布尼茨和牛頓究竟是誰先建立了微積分，在經曆了紛紛擾擾的爭吵之後，現在人們已經普遍承認這是他們分別獨立創造的成果。數學是一門基礎的工具學科，幾乎所有的自然學科都需要借助數學這條路徑抵達自己的科學巔峰。微積分實際上也是一種方法論，在微分和積分互逆關係上建立起來的微積分，是一套從對各種函數的微分和求積公式中總結出共同的計算方法和程序，使微積分方法普遍化並發展成用主要符號來表示的微積分運算法則。所以，符號是微積分的主要因素，運動和極限是微積分的靈魂所在。
牛頓在他的微積分中將變量稱為“流”，把變量的變化率稱為“流數”，他的微積分也因此被稱為“流數”。這一點也正好體現了牛頓作為偉大的物理學家的特征，他從物理學的角度出發，運用集合的方法研究微積分，在他的微積分理論中，更多結合了運動學，這也成為他的理論較萊布尼茨的優勢所在。而萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法建立起微積分概念及其運算法則，其理論在數學的嚴密性和係統性上又勝過牛頓。除此之外，萊布尼茨煞費苦心，精心挑選的用於他的微積分理論的各種符號，也為他的理論錦上添花。
萊布尼茨被認為是數學史上最偉大的符號學家。在創建他微積分學說的過程中，特別是在那些精巧的符號上他花費了不少時間。他自覺而審慎地引入每一個數學符號，經常是在對各種符號進行長期和反複的比較研究後，再選擇那些他認為最合適的、最富有啟示性的符號。在萊布尼茨本人看來，好的符號不僅可以起到速記的作用，而且能夠使數學公式和數學理念的表達更加嚴密、準確，使人印象深刻，因為用“最簡潔明了的少量符號來表詞達意能夠更接近於事物本質”。但最根本的一點，是它更有效地解放了人類的大腦，讓人們的思維更加開闊和便利。
我們現在所學的微積分學中的許多基本符號都是萊布尼茨當初所創，比如，1675年萊布尼茨引入了d表示的微分，用“∫”，即一個拉長了的“s”作為積分符號，用dd，ddd表示二階、三階微分。1695年左右，他又引用dmn表示m階微分。除此之外，他還創設了對數、函數、行列式等符號，在他的大力倡導和密切關注下，“函數”“常量”“變量”“參變量”等術語也被大量引入到學術研究中。
有人說，萊布尼茨在數學上的最大貢獻也許並不是他建立了微積分，而是他所創設的一套適用的微積分符號。現代計算機的發明及其普遍應用，是數學符號在思維領域的一大創舉。萊布尼茨很早就認識到了數學符號給人類思維帶來的極大便利，認為運用符號是數學取得成功的關鍵之一，所以他一生都在探索和研究一種建立在數學符號上的科學方法。這既是一種獲得知識的方法，也是人們用來再發明、再創造的方法。
萊布尼茨在建立微積分的過程中把自己的這一理念貫穿始終。盡管在他和牛頓究竟是誰先建立了微積分這一問題上，英國人和德國人彼此爭吵了上百年；盡管人們認為他和牛頓的理論各有所長，各有所短，但後世仍然有一個普遍的觀點，那就是他的符號的確要優於牛頓的發明。
外界的爭吵和紛擾未能影響萊布尼茨對於科學研究的無私，盡管他本人直至去世後的幾年都一直遭受冷遇，英國學者更因為尊崇牛頓而不屑采用萊布尼茨更為優越的微積分符號，但萊布尼茨本人卻給予了牛頓很高的評價。1701年，在參加柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈向萊布尼茨詢問他對牛頓的看法。萊布尼茨回答道：“在從世界開始到牛頓生活的時代全部的數學中，牛頓的工作超過了一半。”大師的胸襟與公正無私，在一句話中一覽無遺。
卓越的數學成就
萊布尼茨的數學成就，除了微積分，還涉及了眾多領域。他在1678年前就開始了對線性方程組的研究，在他給洛必達的一封信中，他曾列出了3條相異直線的方程組。後來被證明，這個方程組正好是三階行列式的展開式，這也被認為是數學史上行列式的最初起源。在對線性方程組的研究中，萊布尼茨站在理論的高度對消元法進行了探討，並對行列式做出定義，提出了行列式的某些理論。從1673年起，萊布尼茨開始在他的手稿中使用“函數”一詞，但當時他賦予函數的意義遠非今天我們理解的函數。此後，他又把變量、常量、參變量等術語引入數學領域。在對笛卡爾、費馬等人著作的研究中，萊布尼茨還就笛卡爾等建立起來的解析幾何提出了自己的改進意見，並在此基礎上，分別提出了坐標和縱坐標的名稱。
1679年，萊布尼茨在他的《幾何特性》一書中，研究了他自己的“位置幾何學”，並在和惠更斯的通信中，進一步率先表述了“組合拓撲”的思想。拓撲學最早被稱為“位相分析學”，這一名稱就是由萊布尼茨提出的。這個理論在後來學者的不斷補充和深入研究中，已經發展成為一門重要的數學分支，從哥尼斯堡七橋問題、多麵體的歐拉定理、四色問題等數學史上的著名論題，到愛因斯坦廣義相對論中“彎曲的宇宙空間”等理論，它們幾乎都和拓撲學有著一脈淵源。作為拓撲學發展史上的一名重要的貢獻者，萊布尼茨的名字將像夜空的星星，閃耀著永恒的光輝。
除此之外，萊布尼茨還在微分方程、微分幾何、某些特殊曲線(如懸鏈曲線)的研究上都作出了貢獻。他曾就負數和複數的性質進行過深入思考，得出複數的對數並不存在、共扼複數的和是實數的結論。在後來的研究中，他更進一步證明了自己這個結論的正確性。此外，萊布尼茨還創立了符號邏輯學的基本概念。
二進製數的發現是萊布尼茨一項不能不提的成就，他在老師魏格爾的著作《四象數》的啟發下，結合從中國八卦圖中偶然獲得的靈感，領悟到了二進製數的真諦。1700年左右，萊布尼茨相繼發表了一係列有關這一理論的文章，如《論二進製級數》《試論新數的科學》《關於僅用0與1兩個記號的二進製算術的說明，並附有其效用及關於據此解釋古代中國伏羲圖的探討》等，這些理論的問世為後來的計算機理論及控製論的創立奠定了基礎。
創辦柏林科學院
萊布尼茨不僅是一位科學大師，還是一位熱心公益事業的社會活動家。1679年年底，漢諾威的布倫茲維克公爵約翰·弗裏德裏希突然去世，其弟奧古斯特繼任爵位。這一次，萊布尼茨沒有像美因茨選帝侯去世那次失去工作，新公爵的夫人是他哲學學說的一位忠實的支持者，在公爵夫人的勸說下，他被保留了原職。
奧古斯特有著勃勃野心，一心想成為整個德國舉足輕重的人物。為此，他交給萊布尼茨一個任務。他要萊布尼茨寫一部關於他們家族近代曆史的著作，萊布尼茨接受了重任。但是，當地有限的一些檔案材料遠遠不夠寫出一部家族史，萊布尼茨需要進行更廣泛的曆史研究與調查，於是他向公爵請求在歐洲進行一次遊曆。