1732年，受夠了這種令人窒息的恐怖氛圍的折磨，丹尼爾回到了祖國瑞士。不久，身在俄國的歐拉接替丹尼爾晉升為科學院數學部的負責人。他迎來了事業上的一個新階段，並很快又組建了自己的家庭。1734年，他迎娶了妻子柯黛琳娜。柯黛琳娜是一位畫家的女兒，溫柔端莊、美麗賢惠。結婚後，他們夫妻二人生活美滿、恩愛有加。然而，俄國的政治形勢此時卻愈加惡化，厭惡沙皇血腥統治的歐拉也萌生了回到瑞士的念頭。但是孩子們的接連出生阻斷了他回國的路。不過孩子的出生也給歐拉帶來前所未有的快樂，他熱愛自己的家庭，喜歡孩子們環繞膝下、舉家同樂的溫馨生活。和孩子在一起的日子裏，他忘卻了研究工作中的疲勞，拋開了聖彼得堡城裏的危險恐怖，心裏有的隻是對家庭的責任和對孩子們的深沉父愛。
歐拉為孩子們的教育傾注了大量心血，堪稱是一位慈祥而稱職的父親。他常常在晚飯後，將孩子們召集到一起，細細檢查布置給他們的作業。他還親自編寫了不少有趣的習題，讓孩子練習，啟發他們自己思考。那些有趣的習題，激起孩子們的學習興趣，就像當年老歐拉無意中培養起他的數學興趣那樣。除了習題，大概孩子們最愛的就是和父親坐在一起，圍繞在他的身旁，聽他講那些總也講不完的故事或者進行詩歌朗誦了吧。有時候，父親還會抽出時間來跟他們一起唱歌遊戲，那些難忘的夜晚，多愉快啊！試想一下，每一個經過這戶人家窗前的人們，在聽到從窗戶裏飄出的朗朗誦讀聲和這一家人的歡聲笑語時，他們的心裏也會感到溫暖和感動的吧。這在那個時候的聖彼得堡該有多難得呢！
通常可能少有人能夠在嘈雜喧鬧的環境下，進行高效的學習和工作。但歐拉的不少著作和論文恰恰就是在這種環境下完成的，他能夠在任何時間、任何地點，不受幹擾地從事自己的工作，外界的任何影響都不會打擾到他全神貫注地思考。歐拉一生子女眾多，孩子小時，妻子照看不過來了，歐拉也時常幫忙，但這好像並未使他在工作上分心。一邊把孩子抱在膝上，一邊在桌子邊奮筆疾書是他常做的事。據說，他的許多論文就是在孩子們的吵鬧聲中完成的。盡管思路不時會被孩子們一會兒這個、一會兒那個的請求打斷，但他總能輕鬆地接著繼續自己的思考，他的確是一個非凡的數學家。
柯尼斯堡七橋問題
1736年，身在聖彼得堡的歐拉接到了一封來自東普魯士柯尼斯堡鎮的信件。寫信的人自稱是柯尼斯堡當地的一位小學老師，他想向歐拉請教一個問題。
在流經柯尼斯堡鎮（位於今俄羅斯加裏寧格勒）的一條河上，有7座橋橫跨其上，連接起了河上的兩座小島和兩岸。一直以來，柯尼斯堡鎮的居民熱衷於一個難題：一個散步的人，能否不重複的一次走遍7座橋，再回到起點？這個問題就是在數學史上赫赫有名的柯尼斯堡七橋問題。柯尼斯堡的當地人和外地來的遊客們無不對此問題興致盎然，大家爭相討論，提出各自的見解。有人認為答案是肯定的，可是很多人親自去實踐了一下，走來走去都無法不重複；有的人說那樣的路線根本行不通，可是其中的道理，他們又說不出個所以然來。大家爭執不下，最後決定請教聖彼得堡的大數學家歐拉。
歐拉的熱情耐心可是出了名的，大家都知道歐拉是位“好好先生”，他對別人的請求總是有求必應。他幫忙解決的事情，多的不計其數。他曾經應邀編寫過初等數學的教科書，繪製過俄國地圖，還曾參與了有關度量衡製度的改革，這些可能都是些大事，但是幫著普通人設計一種檢測天平的簡單方法，進行科普宣傳，甚至應小學生的來信請求，幫助他們解決“難題”等這類的瑣碎小事，歐拉也都能令他們得償所願。隻要人們有需要，無論事情有多小，無論對方有多麼平凡，他都會盡心盡力地去完成。對他來說，用數學幫助人們解決困難是真正的快樂。至於這些瑣事是否會影響自己的研究，是否有失自己大數學家的身份，他從來沒把這些當回事。他隻是出於責任和興趣，把數學應用到實際中的興趣。
柯尼斯堡的人們算是找對人了，因為歐拉最喜歡解決這些沒人解決過的難題了。但是，柯尼斯堡七橋問題看起來跟以往的數學問題有些不同。它既不存在代數上的數量大小的疑問，也沒有平麵幾何裏邊長短和角度大小的爭議。要解決它，隻需要考慮幾座橋、幾塊陸地和它們之間的連接問題。歐拉經過一番思考，決定用點來表示島和陸地，用兩點之間的連線來表示連接它們的橋。這樣一來，他就將河流、小島和橋的連接關係簡化為一個網絡，把七橋問題轉化成了一個“從四個點中某一個點出發，能否一筆畫成這個網絡”的問題。
緊接著，歐拉針對這個簡化了的網絡圖，給出了自己的結論：能夠不重複經過七座橋的路線是不存在的。同時，他發現“一個網絡能不能一筆畫出來，關鍵在於這些點的性質”。
可是這結論他是如何得出的呢？歐拉先做了一個假設前提：如果從一點引出來的線是奇數條，就把這個點叫奇點；如果從一點引出來的線是偶數條，就把這個點叫做偶點。歐拉發現，如果我們從某點出發，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那麼把起點和終點除外，畫筆每經過一個點一次，在這一點上，總會有畫進該點和畫出該點的兩條線相交於此，也就是說會有兩條線與該點相連結。歐拉據此推斷，如果畫筆經過該點 次，那麼就會有2 條線與該點相連結。所以，他由此得出結論：這個圖形中除起點與終點外的各點，在其上經過的線條的數量都是偶數。如果起點和終點重合，那麼這個點也與偶數條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那麼這兩個點部是與奇數條線相連的點。
根據這個結論，歐拉還給出了能夠滿足一筆畫圖形的條件，即“當各點或者都是與偶數條線相連的點，或者其中隻有兩個點與奇數條線相連時，一筆畫圖形才能成立”。由於七橋問題中的四個點，即兩座小島和兩岸對應的點，有1個點與5條線相交，其餘3個點各與3條線相交，總共有4個與奇數條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。
歐拉的結論得出後，困擾柯尼斯堡人多年的這個問題終於解決了，大家都非常滿意。也就是在這一年，歐拉把自己對這個問題的論述寫成了一篇文章，在聖彼得堡科學院做了一次學術報告。“七橋問題”雖然是一個幾何問題，但它卻是一個以前的幾何學裏沒有研究過的問題。歐拉在解決“七橋問題”時，把陸地變成了點，把橋梁變成了線，這種思想的重要性和巧妙之處就在於，它把一個實際問題抽象成了一個“數學模型”。歐拉由此得出的一筆畫結論，被後來的人們稱為“歐拉定理”。歐拉通過他的思想以及他對“七橋問題”的研究，由此推開了一門嶄新的學科--拓撲學的大門。
勤奮的歐拉一生筆耕不輟，為了自己喜愛的數學事業，他奮不顧身地投入其中。1739年，巴黎科學院將目光對準了一個關於彗星軌道計算的課題，為了引起科學家們的興趣，他們將這一年的科學院獎金額提高了很多。歐拉早已把獲得這項榮譽立為自己的目標之一，他隨即開始為這次的課題作準備。工作一旦開始，無論如何都不能停下腳步，這在所有的科學家身上，似乎是一個“通病”。歐拉也不例外，他隨即把自己關在房子裏廢寢忘食地幹了起來。看到丈夫這樣不要命地投入其中，妻子柯黛琳娜憂心忡忡，卻也愛莫能助。在接連工作了幾天幾夜後的一個清晨，雙眼熬得通紅的歐拉從書桌前抬起頭來。這個得要幾位數學家花費好幾個月時間才能得出的成果，他用了幾天的時間完成了。歐拉剛剛算出了彗星的軌道，此時，頭腦暈暈沉沉的。窗外的太陽已經升起，陽光從窗戶的一角透射進來。他放下手中的筆，活動了一下身體。就在站起身時，突然一陣眩暈，緊接著眼前一片漆黑。他暈倒了！這一病，使他終於能夠躺在床上好好休息了；然而，病好以後，歐拉的右眼失明了。