受邀去柏林
而立之年的歐拉，憑借著頑強的毅力，邁過了人生的第一次坎途。他依然繼續自己的數學研究，並沒有因為這次打擊有所動搖。但是，俄國的黑暗統治卻讓他好生苦悶。
1740年，普魯士國王腓特烈大帝在柏林登基。這位據說是身材矮小但野心勃勃的國王，自詡為歐洲最偉大的君主，並將自己標榜成一個愛科學、重人才的開明國君。他對當時的柏林科學院深感失望，認為它的學術氛圍不夠活躍，太過沉寂。而且因為缺乏一個真正出色的領頭人，致使柏林科學院淪落為歐洲二三流的角色。當他聽說聖彼得堡科學院在歐拉的帶領下，學術研究正在風風火火地進行中時，他決定將歐拉邀請到柏林來。
在俄國的高壓統治下，隻顧埋頭自己事業的歐拉習慣了寡言少語。一身簡單樸素的便服很顯然讓他在這位愛麵子的國王麵前掉了身價，更糟糕的是，他一點不善於揣摩君主的心思。不說話時還好，一旦開口說話，他直愣愣的言辭更是讓自己在腓特烈麵前的形象大打折扣。當這位高高在上的國王向麵前這位風塵仆仆的數學家問道：“你為什麼不願多說話？”歐拉毫不遮掩地說：“在我來自的那個國家，誰要多說話，誰就要上絞刑架。”腓特烈的不悅很快就寫在了臉上，他敷衍了兩句，拂袖而去。
這次見麵的不愉快很快就煙消雲散，歐拉對這些事一點也不在意。這些日子，在他腦子裏一直盤旋的是另外一個重要的數學問題--怎樣把17世紀牛頓、萊布尼茨建立的微積分更好地推廣開來。因為此時的微積分已經在天文、物理、航海和工程學等領域顯示出了它強大的威力，並由此形成了數學分析這個數學領域最重要、最龐大的分支。牛頓、萊布尼茨創造了微積分的基本方法，但是讓人們的思維理念從初等數學上升到微積分的高度，這個過程還有著重重阻礙。另外，如何將這門科學的理論廣泛應用到社會實踐當中去，將科學理論真正轉化為推動社會發展進步的科技力量，也還有大量的工作需要去做，有大量問題亟待解決。再者，由於這些大師們的著作語言艱澀、理論高深，少有人能夠完全讀懂吃透。而歐拉的著述卻總能用深入淺出的講述、雅俗共賞的言辭來喚起更多人對數學的樂趣。他還創造了現代數學的語言，今天我們常用的放學符號，像用∑表示求和，用表示根號，用(x)作為函數的記號，用sin、cos、tan表示正弦、餘弦和正切，正是歐拉所首創的。
鑒於上述原因和自己身為數學家的責任考慮，歐拉決定擔負起推廣微積分，這項具有重要意義的曆史使命。隨著歐拉工作的進展，聞名遐邇的《無窮小分析引論》和《微分學數學原理》兩部著作相繼問世。這兩部書和後來歐拉在聖彼得堡出版的《積分學原理》一書，一起成為了歐拉在分析學上的經典之作，它們如同指明燈，為人們深入到微積分的世界照亮了前進的道路。也正是在這些著述的引領之下，一大批的後繼數學家應運而生。如創立了分析力學、在數論上作出重要貢獻的法國數學家拉格朗日，天體力學的主要奠基者、分析概率論的創立人法國數學家拉普拉斯，數學王子高斯以及柯西、黎曼等人。歐拉在分析學上的過人技巧以及他的高深造詣，為他博得了“分析學的化身”等美譽。
除了這些成就，歐拉在柏林時期，還取得了他在數論上的大部分成果。數論是一門以整數性質作為主要研究對象的科學，17世紀時的大數學家費爾馬生前曾在這一領域提出了大量的重要命題。然而時至今日，費爾馬命題的全部內容還沒能被完全證明出來，但是已經證明出來的命題裏，大部分都是歐拉的貢獻。
也許在數學的曆史舞台上，歐拉未必是一個具有鮮明個性的開創性人物，但他在數學應用上所承擔的承上啟下的作用卻是無人可替代的，這一點從他在柏林時期所做的變分法方麵的研究就可窺見一斑。變分法研究的是函數的數學領域，尋求函數的極大值和極小值是它的主要目的，所以這門科學成為與處理數的函數的普通微積分相對的一門學科。在變分法中，有個著名的“最速降曲線問題”，而提出這個問題的第一人正是歐拉的老師，約翰·伯努利。所謂“最速降曲線”問題，是要求出兩點間的一條曲線，該曲線能使質點在重力作用下，沿著它由一點至另一點的降落最快。類似“最速降曲線”這種求函數極大極小值的例子，在實際生活中也是比較常見的。傳說早在兩千多年前，地中海岸邊的迦太基人在建造城市的時候有一條規定，即允許居民占有在一天時間內犁出一條溝所圈成的土地。大家都想占有最多的土地，但因為體力和時間有限，每個人在一天裏犁溝的長度基本上都是確定的，所以對人們來說，要想達到占有最多土地的目地，關鍵就在於將溝犁成什麼樣的形狀了。
歐拉在約翰的建議下，早在1728年就開始涉足這一領域。他從研究曲麵，尤其是地球的測地線等問題著手，尋找連接曲麵上兩點間最短曲線的距離。經過十幾年的時間，終於有所收獲。歐拉在這一領域的著作《尋求某種具有極大或極小性質的曲線性質的技巧》於1744年在柏林出版。這部著作一經問世，立刻為歐拉帶來了前所未有的榮譽，他被公認為是當時最偉大的數學家。歐拉在這一領域的研究給一位年輕的法國數學家拉格朗日很大啟發，在與歐拉探討“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結果為依據來論證和推導自己的結論，而他的第一篇論文《極大和極小的方法研究》，更是進一步發展了歐拉開創的變分法，從而為變分法的創立奠定了基礎。
據說，在得知拉格朗日的研究結果出來後，歐拉非常興奮。為了鼓勵年輕人，他立即將自己即將付印的著作壓下來，讓拉格朗日的著作先行發表。不僅如此，他還在自己的著作出版之時鄭重聲明，在拉格朗日提出這個方法之前，他在研究中遇到了“前所未有的困難。”後來，他還向柏林科學院大力推薦了這位年輕的數學新星，使拉格朗日被成功錄取為該院院士。歐拉這種寬闊的胸懷和他對年輕學者的大力扶持和提攜，贏得了世人的敬重。他晚年時期，當時的所有數學家都以成為歐拉的學生而驕傲，數學家拉普拉斯曾無比深情地呼籲：“讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是我們所有人的老師！”