生活在18世紀到19世紀之交的德國，是高斯的幸運。隨著英國工業革命的蓬勃興起，普魯士統治階層裏的一些有識之士也看到了科學在轉化為生產力的過程中所顯示出來的強大力量。為了擴張領土、占據更多資源，以便維持和鞏固自己的統治，他們對教育和科學事業的發展給予了前所未有的關注。一時間，學術讚助人成為當時普魯士貴族社會裏一個備受推崇的名頭。科學擺脫了作為宮廷和貴族裝飾門麵的高不可攀的角色，開始走向了普通大眾。從民間湧現出了眾多來自各階層的學者，推動了科學在這一時期的空前發展。正是在這樣的大背景下，作為一名再普通不過的工匠的兒子，高斯才有可能受到重視，並得到上大學的機會。這樣的事如果再提前一百多年，那簡直是不可想象。
一鳴驚人
在斐迪南公爵的資助下，1792年，15歲的高斯進入卡羅林學院學習。在此期間，他研習了歐拉和拉格朗日的著作，並對牛頓在數學方麵的成果進行了一番學習。牛頓是高斯在數學領域最高的榜樣，據說他從少年時代起，就對牛頓懷著崇高的敬意。盡管在他的著作裏，對其他的前輩，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯等人的評價也非常之高，但是對牛頓，高斯則說“他是至高無上的。”
1795年，18歲的高斯轉入哥廷根大學學習。
位於德國西北部的哥廷根大學始建於1734年。這一年，身為英國國王及漢諾威大公的喬治二世，為了弘揚歐洲啟蒙時代學術自由的理念，委派重臣馮·明希豪森在哥廷根創辦一所大學，哥廷根大學因此一開歐洲大學學術自由之風。哥廷根大學曆史輝煌，名人輩出，蜚聲世界。整個18世紀，它因其極為自由的科學探索精神和氛圍，確立了自身在德國大學中的中心地位。曾叱詫風雲，在世界曆史舞台上聲名遠揚的拿破侖，就曾在此研習法律，並稱“哥廷根是屬於全歐洲的。”而這裏也成為高斯一生活動最集中的地方，這期間，除了短暫的離開，高斯在哥廷根一直工作、生活到了生命的最後一刻。在他本人和那些繼承了他的學識思想的後繼者們的共同努力下，一個人數眾多、學科全麵，富有進取心和創造性，講求學術平等、學風自由的學派--哥廷根學派逐漸形成，並成為世界數學科學發展史上長期占據主導地位的重要學派。
1795年的秋天，哥廷根城秋高氣爽、雲淡風輕。這座“沒有校門和圍牆的大學”，在一個陽光燦爛的秋日裏，張開雙臂，迎接了一位遠道而來的年輕人。他從學校的林蔭道上匆匆走來，手裏拎著一隻破舊的小皮箱，衣著樸素，但是外表上的簡樸遮掩不了年輕人堅毅睿智的目光。從這天起，高斯開始了他在哥廷根的大學生活。在同一年，18歲的高斯獨立發現了“質數分布定理”和“最小二乘法。”質數又稱素數，指在一個大於1的自然數中，除了1和這個整數自身以外，沒有被其他自然數整除的數。這其中比1大但不是素數的數稱為合數，而1和0既非素數也非合數。關於素數的理論在數學的重要組成--數論中，占據非常重要的地位。
1795年，在上述研究基礎上，高斯獨立發現了數論中的二次互反定律，並且第一個對此作出了嚴格的證明。據說，當年大名鼎鼎的歐拉也曾發現過這個定理，但是他沒有給出證明，而是舉了幾個例子作為驗證。1785年，法國數學家勒讓德也曾對外宣布發現了這一定理，但是他的證明後來被認為是存在缺陷的。這個讓不少數學家為之折腰的數論堡壘，被一位籍籍無名的年輕大學生攻克了。高斯以他的獨特智慧，利用數學歸納法的巧妙構思，對這個難題作出了一個完美的證明。其證明過程令那些見證過它廬山真麵目的數學家驚歎不已，但高斯本人並不滿足於此。高斯對數論的情有獨鍾，就像他自己所說的那樣，“數論是數學王國的皇後”。正因為如此，對二次互反定理這樣一個重要的數論定理，高斯才認為，“絕不能以獲得一個證明以後，就宣告研究結束，或者是把尋找另外的證明當做完全多餘的奢侈品。”基於這樣的考慮，高斯執著地反複思考多年，先後對此給出了6個不同的證明。
有了這個重要的發現，想要一舉成名，簡直唾手可得。但是，高斯沒有這樣想，榮譽和掌聲不是他的目的。他沒有高聲宣揚，也沒有公開發表，而是把這顆他從“數學倉庫中”精心挑選出來的珍寶和其他發現“一起關進了他的褐色小皮箱裏”。這個時候，年輕的高斯正麵臨抉擇，到底數學和語言學哪一個更適合作為自己傾盡畢生心力，對其矢誌不渝的“愛人”。因為他發現，自己在語言學方麵有著同樣的興趣和才能。
1796年的春天似乎來得格外早些，哥廷根大學的草地上早已綠意盎然。一個冬天隻顧埋頭工作的高斯並未察覺這悄然到來的春天，等到他發覺時，春天的腳步都要走遠了。沒有關係，春天本來就是新舊交替的時節。在這洋溢著生命氣息的春日裏，高斯又有了新成果，他用直尺和圓規做出了一個正十七邊形。尺規作圖是起源於古希臘的數學課題，一般要求隻使用圓規和直尺，並且隻允許使用有限次，來解決不同的平麵幾何作圖問題。我們在上小學時就開始學習用圓規和直尺作圖了，如果給你一個題目，讓你分別作一個正五邊形、正六邊形、正七邊形和正九邊形，通常，前兩個圖形都比較容易。但是，後兩個圖形無論如何卻都做不出來。這是為什麼呢？據說，歐幾裏得曾使用尺規作出了正三角形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形，並且通過反複二等分這些正多邊形的邊得到一係列正多邊形。但是正十七邊形的作圖問題，從古希臘時起，就有無數數學家反複嚐試，但都以失敗而告終。直到將近兩千年後，19歲的高斯才將這個老大難問題解決。
高斯通過對之前數學家們作圖方法的研究發現，前麵那些數學家之所以失敗，是因為他們幾乎無一例外都是從幾何的角度出發，試圖通過幾何方式去尋找突破這個幾何難題的途徑。因為囿於幾何的思維框框，他們無法看到別的路徑。而高斯則從數論的研究中找到了一線光明，他發現其實這個正多邊形的作圖問題，完全可以轉化為一個由整數組成的代數方程的求解問題。高斯的這個思路，開創了把一個領域的問題轉移到另一個領域來解決的先例。事實上，在他後來的研究工作中，他還曾多次采用過這類方法。通過對這個代數方程的求證，他得出了用尺規做正多邊形的條件：使用尺規所能作出的邊數為奇數的正多邊形，它的邊數必定是費馬素數或不同費馬素數的乘積。這也就是說，能夠用尺規作出的正多邊形，其邊數隻能是3，5，17，257，65537，……或者邊數是它們的乘積的正多邊形，但是不能作正7、9、11、13或19邊形。
據說，這次的成功讓高斯大為振奮，他甚至希望，將來能夠在自己的墓碑上刻上正十七邊形的圖案。此後，他更是下定決心投身到數學事業之中。為了紀念高斯的這一成就，在他去世以後，人們專門為他在家鄉布倫瑞克建立了一尊以正十七棱柱作底座的紀念像。
從1795年10月到1798年9月，高斯在哥廷根大學度過了三年大學時光。這三年的時間，被認為是他一生中取得最多成果的時期。因為有公爵的資助，他不必為生活操心，於是關起門來，一心一意地沉浸在數學的世界中做研究。據說，高斯的工作通常都是一個人獨立完成的。也就是從這一時期起，一直到1814年間，他形成了一個習慣，常常把自己一時的靈感和想法記在一個毫不惹眼的小冊子上。在這個薄薄的隻有不到20頁的小冊子裏，每一張紙都被各種奇怪的符號填滿。這個小冊子跟隨了高斯十幾年，記錄了他在這一時期裏上百項的研究成果。因為是隨時隨地，隨手記下的想法，所以每一條的記錄文字都非常簡短。
這個小冊子可說是高斯的私人日記，因為當我們透過那些三言兩語的文字和奇怪的符號，看到的似乎不僅僅是這位數學家的數學思想，甚至也能夠看到他在每得到一個新發現時的心情。這份珍貴的日記後來成為人們探尋大師思想曆程的重要資料，但是因為高斯本人始終珍藏著它沒有公開，直到1898年，在他逝世後43年，才得以在科學界流傳。這本日記一經公開，轟動了整個數學界。原來，這些年數學界取得的許多重大成果，高斯在生前早已經發現。在他的這些研究成果中，有的公開發表的很晚；有的甚至在他生前就沒有發表。
至於說高斯為什麼沒有公開自己的成果，有些人認為，這可能跟高斯對工作極端嚴格和審慎的態度有關。父親和舅舅一絲不苟的工作態度，數學領域的偉大先驅者對作品的精益求精，都深深影響了高斯。他以他們為榜樣，對自己的作品提出了近乎苛刻的要求，他隻發表那些他認為足夠完美、在語言上沒有任何瑕疵、在邏輯上沒有任何疏漏的作品。在他認為不滿意時，他寧願把自己的成果束之高閣，也不願它帶著缺憾見人，這是他“寧缺毋濫”的原則。高斯是敏感而要強的，雖然出身貧寒，但他和自己的雙親一樣，有著極強的自尊心。那個時候，數學家之間存在的各持己見、互相指責甚至諷刺挖苦對方的風氣，高斯甚為反感。為了避免招來這些無端的爭執，他幹脆不予奉陪，這些難得的數學“珍寶”就這樣沉睡在他的小箱子裏。
1798年，高斯在哥廷根的大學生活也快要結束了。這個時候，他的一本關於數論的專著《算術研究》基本上也大功告成。這年秋天，高斯去了一趟黑爾姆斯泰特，在那裏見到了著名數學家帕夫（1765-1825）。在帕夫的請求下，他接受了證明“代數學基本定理”的挑戰。關於這個命題，早在高斯之前的一百多年前，就已經被數學家認識到了，但是關於這個定理的證明，卻是一個尚未完善的難題。之前已經有拉格朗日、歐拉的證明在前，但是他們的證明都有著一定缺憾。1799年，高斯經過自己的分析，給出了第一個嚴格的證明，並以此論題作為他在哥廷根大學的博士論文。這個定理後來高斯又先後給出了3個證明，作出第四個證明的時候，他已經是年逾古稀的老人了。
數學的尊嚴
1801年，在經曆了出版商的一再拖延後，高斯的第一部巨著《算術研究》問世了。這本書的第一章，就是高斯對“二次互反定理”的完美證明。而書中堪稱最為華彩的部分，是高斯將代數方程 =1的根的討論應用於圓的分割問題的創舉。這一創舉將數論、代數和幾何熔於一爐，打造出了一個數學史上的典範之作。正是因為此書融合高斯的眾多思想成果，所以有人認為，這是他一生中最偉大的作品。據說，當時已經68歲高齡的拉格朗日在看到《算術研究》時，也曾大為讚歎，並親自向高斯致信，表達了自己由衷的祝賀。
雖然《算術研究》中所涉及的每個內容看似學過普通代數的人都能看懂，但實際上它完全不是寫給初學者看的。由於內容深奧，加之全書剛好有7個部分，所以人們也風趣地稱其為“加七道封漆的著作”。
就在《算術研究》出版的同一年，意大利天文學家皮齊亞發現了一顆新的小行星，並將其命名為“穀神星”。但是後來皮齊亞因病耽誤了觀測，從而失去了這顆小行星的軌跡。為了尋找這顆已經被淹沒在太陽光輝裏的穀神星，皮齊亞將自己所得的觀測數據發表出來，向全球的天文學家尋求幫助。當時，高斯也在最小二乘法基礎上創立的測量平差論的幫助下，測算天體的運行軌跡。他隨即利用這種方法，測算出了穀神星的運行軌跡。之後，一位奧地利天文學家根據高斯計算出的軌道，成功發現了穀神星。這一發現讓高斯的名字傳遍了歐洲，也讓更多的普通人認識了這位出身貧困平民家庭的年輕數學家。
1805年，28歲的高斯和約翰娜·奧斯芙正式結婚。很快，他們的三個孩子相繼來到世間。就在他的長子約瑟夫出生後的第二年，1807年，高斯成為哥廷根大學的教授，並擔任了當地天文台台長之職。然而就在此時，法國的拿破侖皇帝正騎著戰馬在歐洲大地上橫掃天下。1806年，不可一世的拿破侖擊敗了俄國、普魯士為主的第四次反法同盟，迫使普魯士投降法國，拿破侖因此取得了普魯士大部分地區。就在這一年，高斯失去了父親；一直以來在學習和研究工作中，給他很大資助的斐迪南公爵也在同拿破侖的一次戰役中負傷，不久離世。高斯失去了生活來源，這意味著從此他得自謀生路，找一份工作，這對當時已經譽滿歐洲的高斯來說，不是什麼難事。聖彼得堡科學院早已有心請他接替歐拉的位子，因為自歐拉去世以來，他們始終未能找到合適的人選來領導聖彼得堡科學院的工作。德國自然不願意高斯離開，很快他們就給他安排好了職位，擔任哥廷根天文台台長，並適當為哥廷根大學兼課。這項職務不僅可以使他照料家庭，還為他提供了一個安靜的工作環境，他欣然接受了邀請。