1884年，25歲的數學家阿道夫·胡爾維茨來到柯尼斯堡大學擔任副教授，沒有多久他就和希爾伯特、閔可夫斯基交上了朋友。那個時候，學校後麵的小山坡上有一棵枝繁葉茂的蘋果樹。每天下午5點，常常會看見他們三人在這裏一邊散步，一起熱烈地討論當下的數學問題。有時他們低頭沉思，有時則為某一人的精彩發言而大聲喝彩，更多時是因為見解不一而發生爭執。爭得麵紅耳赤、互不相讓是常有的事，每到僵持不下之際，總會有人適時冒出一兩句風趣幽默的言辭，將緊張的氣氛一掃而光，惹得大家哈哈大笑。這樣的情景經常使得不知情的人產生誤解，據說有一回一位來柯尼斯堡訪問的外地學者從這裏路過，老遠就聽到幾個人在大聲爭吵，還以為他們在打架，甚至都想過去勸架呢。性格活躍的希爾伯特、溫厚樸實的胡爾維茨以及機敏多思的閔可夫斯基，這三個旁若無人沉浸在科學世界裏的“數學瘋子”，就這樣在科學的道路上快樂前行。對這段日子的回憶，希爾伯特後來寫道：“就是這樣，在無數次的散步中，我們三個人探究了數學的每一個角落。”“沒有想到的是，那個時候我們竟然把自己帶得這麼遠！”對學識淵博，而且長他們幾歲的胡爾維茨，希爾伯特說：“他是我們的帶路人。”
1885年，希爾伯特以《某些代數形式的不變性質》作為自己的哲學博士論文，通過一條別出心裁的證明途徑，得出了結論。他在數學上的創造才能這時得以發揮出來，論文很快獲得通過。好友閔可夫斯基向他表示了祝賀，並給予了熱情的讚揚。同一年，閔可夫斯基也獲得了博士學位，不久就應召服兵役去了。希爾伯特沒有服兵役，但他們三人相約蘋果園的散步暫時告一段落。
獲得了博士論文，還得通過一項富有創造性的工作得到教授會滿意，才能被授予講師稱號，這才有資格給學生上課。當時各個大學裏的講師沒有固定薪水，隻能靠選聽講師本人的課的學生學費來維持生活。幾乎所有獲得講師資格的學者都希望能夠晉升為副教授、甚至教授，這樣才能有固定的薪水，生活才能有所保障。但要走到這一步，其中的艱辛，看看黎曼的經曆，就可以想象得到。
學術旅行
1885年，23歲的希爾伯特有了一個新決定，這個從偏僻的柯尼斯堡走出來的年輕人打算去做一次學術旅行。這一方麵是為了增長見識，另一方麵也是為了給講師論文作準備。希爾伯特接受了胡爾維茨的建議，第一站選擇了萊比錫，去拜訪胡爾維茨的老師菲利克斯·克萊茵。出生於1849年的克萊茵是一位年輕有為的數學家，他18歲進入波恩大學學習數學和物理，後來在恩師普律克的引導下，主攻數學。23歲時，他就已經成為了埃爾朗根大學的正教授。他是一位博學多才的數學家，其所研究的領域涵蓋了非歐幾何、連續群論、代數方程論、自守函數論等方麵，並取得了傑出的成就。在萊比錫期間，希爾伯特聽了克萊茵的課並參加了一個討論班。克萊茵對這位好學的年輕人頗有好感，據說，他還曾將希爾伯特在討論班上所做的一個報告細心地保管起來。對此，克萊茵說：“一聽他的報告，我就知道他將前途無量。”後來，在希爾伯特60歲生日的慶祝宴會上，克萊茵坐著輪椅，將它送還給了當時已經名聞天下的數學家。
希爾伯特很快就融入到了萊比錫的學術界，1885年12月初，他通過克萊茵，將一篇有關不變量的文章提交給了萊比錫科學院。並在這一年的除夕之夜，參加了克萊茵在自己家中舉辦的一個熱鬧非凡的“小型宴會。”而此時，在寒冷的腓特烈堡，閔可夫斯基正因為朋友不在身邊，而感到萬分冷清和沮喪。這個“可憐的士兵”在給希爾伯特的信中“訴苦”，希望這種沒個盡頭的日子早點結束，好讓他盡快地投入數學的懷抱。
希爾伯特見到克萊茵時，年僅36歲的數學家正在麵臨一個選擇：他接到了另外兩家大學的聘書，分別是美國的霍普金斯大學和德國本土的哥廷根大學。克萊茵拒絕了前者的盛情之邀，決計前往哥廷根。克萊茵的這一決定觸動了年輕的希爾伯特的心，他對這所擁有高斯、狄利克雷和黎曼等大師的數學聖地神往已久。在一本從萊比錫的大街上買來的小冊子裏，希爾伯特信手塗鴉了一首描述他當時心境的小詩，詩作的內容連一般的德國人都難以看懂，但人們還是從裏麵看出了一個意思：“哥廷根給予我們的，猶如青春的記憶。”
離開萊比錫，在克萊茵的鼓動下，1886年3月底，希爾伯特動身去巴黎，這個被他自己形容為“科學活動的蜂巢”之地。在動身前寫給朋友的信中，希爾伯特還略略表達了一些此行的憂慮之情，他有點擔心會受到法國數學家龐加萊的冷遇。事實上，在聽了龐加萊的課之後，希爾伯特就對這個大他8歲，但是已經發表了一百多篇文章，而且很快就要被提升為科學院院士的法國數學家有了自己的認識。他覺得這是一個“年輕而過分靦腆的人，他上課時甚至還略帶緊張。”“不過”，希爾伯特在給克萊因的信中說，他“總有巧妙的辦法使他（指龐加萊）開竅。”要和這些性格靦腆的數學家交朋友，希爾伯特似乎總有一套他自己的辦法，而且屢試不爽。法國的數學家們給了這位年輕的德國同行極大的熱情，他們大多數人都很禮貌地、及時地回訪了外國客人。希爾伯特一直和當時已經身在哥廷根的克萊茵保持聯係，把自己的見聞和感受寫信告訴了對方。同時，他還不忘寫信把這些經曆講給還在服兵役的閔可夫斯基，這讓後者羨慕不已。
在所有的法國數學家中，最吸引希爾伯特的是埃爾米特。這位64歲的數學前輩對他熱情而友好，希爾伯特拜訪了他兩次。他們一起探討了埃爾米特的二次型互反律，老人鼓勵這位年輕的客人將他的成果推廣到三次型。事實上他們的話題大多是圍繞不變量展開的，因為這是希爾伯特最關心的問題。正是和埃米爾特的這次談話，希爾伯特的注意力集中到了當時不變量中一個最著名的、懸而未決的“果爾丹問題”之上。這個問題因為克萊茵在埃爾朗根的朋友果爾丹之故而聞名於世。
在巴黎的這次旅行，希爾伯特把他的全部精力都放到了拜訪和聽課上，並做了大量筆記。6月底，希爾伯特踏上了返鄉之路。中途，他到哥廷根做了短暫停留，去向克萊茵彙報了一下在巴黎的情況。這是他第一次來到這座大學，很快就被這座迷人的大學吸引住了。隨後，在柏林，他還去拜訪了當時“令人生畏”的克羅內克。
身材瘦小的克羅內克，身高隻有1.5米左右，但在當時的德國數學界卻是一位舉足輕重的大人物。克羅內克那個時候主要關心的是算術的連續性，即分析學的基礎，他希望能夠將整個數學“算術化”。克羅內克的壞脾氣和他尖銳刻薄的學術批評，在當時的數學界可是鼎鼎有名。但是希爾伯特在拜訪這個數學“怪人”的過程中，受到的卻是完全友好的接待。這次訪問，希爾伯特記錄下來的談話內容足有四頁之多，遠遠超過了他與其他數學家的對話筆錄。
從柏林回到柯尼斯堡之後，希爾伯特下定決心開始完成那篇決定他能否獲得講師資格的重要論文了。他仍然選擇不變量中的兩個內容作為自己的論文選題，一個是“最一般的周期函數”，另一個是“群的概念”，最終，教授會選中了第一個。1886年，他順利地通過了論文考核，獲得了講師資格。他興奮地向閔可夫斯基報告了這一好消息，並決定開始在柯尼斯堡教書。從此，柯尼斯堡眾多的講師名字中，希爾伯特也成為其中的一個。盡管沒有固定的薪水，從事數學研究工作、傳授數學知識的願望給了他事業上的動力。他要求自己在講課中既教育學生，又要提高自己，為此他還給自己定下了一個目標：每年不教重複的課。
果爾丹問題
在柯尼斯堡的日子裏，希爾伯特的腦子裏始終盤旋著一個問題--果爾丹問題。他對不變量表現得“一往情深”，這不光體現在他將此作為自己講授的主要課程，就連他這一時期發表的學術文章也全與代數不變量相關。但是偏遠的柯尼斯堡畢竟始終遠離當時的數學中心，學術信息閉塞，研究熱情淡薄。為此，希爾伯特萌生了再次進行學術旅行的念頭。在那段日子裏，遠在波恩大學為自己的講師資格奮鬥的閔可夫斯基，也因為遇不到幾個同道中人而鬱鬱不得誌。所以，隻要一有機會，他就要跑回柯尼斯堡去赴希爾伯特和胡爾維茨的“蘋果樹下之約”。在這樣的密切交往中，他們的友誼愈加深厚。
1888年的3月，希爾伯特踏上了旅途。他先去了埃爾朗根，拜訪了“不變量之王”果爾丹。
保羅·果爾丹是德國數學界一位有著突出作用的人物，他最大的成就是證明出了“任何給定次數的二元型的基或有限完備係的存在性”。但是，果爾丹在研究中發現了一個問題：“是否存在一組基(即一組個數有限的不變量)，使得其他所有的不變量都能夠用這組基的有理整函數形式表達出來?”這個問題被稱為“果爾丹問題”，它一經提出就引來了世界各地眾多數學家的關注。要想在不變量領域有所成就，攻克“果爾丹問題”無疑就成為最具價值的選擇了。但是這個課題之難，也令不少人望而卻步。希爾伯特在聽到過果爾丹本人的描述後，毅然決定將這個問題作為自己首要攻克的數學堡壘！在接下來的旅行中，他對“果爾丹問題”的思考一直沒有停止。
1888年7月，旅程結束了，希爾伯特來到距柯尼斯堡不遠的勞興鎮度假。9月份，他從這裏向哥廷根大學的《通訊》雜誌投寄了一份簡短的注記。他用一個令人意想不到的新途徑，打破了數學家們以往被形式主義束縛的思路，將果爾丹問題從本質上換了個提法：假如給定無窮多個包含有限個變量的一組代數形式係，問在什麼條件下，存在一組個數有限的代數形式係，使得所有其他的形式可以表示成它們的線性組合，係數是原來那些變量的有理整函數?
希爾伯特的答案是：這樣的形式一定存在。他從邏輯的必然性角度出發，去證明有限基必定存在，這與以往數學家執著拘泥於數學形式的做法完全迥異。這個工作體現了希爾伯特思想的重要特質，正如他的一個學生所說的那樣，這是“一種樸素的自然思想，並非來自權威或者過去的經驗”。 12月底時，果爾丹定理的證明出版了，但是，新理論的問世迎來的並不都是喝彩和掌聲。他受到了不變量理論奠基人阿瑟·凱萊的衷心祝賀，克萊茵的高度肯定，然而果爾丹本人卻高聲說：“這不是數學，是神學”，克羅內克也對他的理論堅決不予承認，因為他根本沒有一個實體上的構造方法。這已經不是數學本身上的爭論了，而是又一次新舊思想上的交鋒。
希爾伯特沒有放棄自己的想法，但他不能無視那些批評的意見。於是，他回過頭去自己完善自己的理論，試圖去尋找能夠被人們接受的實體上的構造。就在他一籌莫展、毫無頭緒之際，他意外地在克羅內克的理論中找到了對自己有利的證據。1892年，希爾伯特終於得到了苦苦尋找的構造方法。果爾丹不得不承認：“我自己一直確信，神學也有它的價值。”閔可夫斯基在信中向摯友表達了自己的激動之情，好像那也是他自己的成就一樣。但此時，那位苛刻的怪老頭克羅內克已經逝世了。