鳧雁問題與割圓術
三國時，魏元帝景元四年（２６３年）秋末冬初的一天，劉徽仍在書房裏緊張地籌算。窗外，忽然傳來大雁的鳴叫聲，他立起身，走到窗口，看見一行大雁正排成“人”字，向南方飛去。正是雁南飛的時節，劉徽剛巧正在運算一個“鳧雁問題”。
這是《九章算術》中的一個問題：一隻野鴨從南海飛到北海要用７天的時間，一隻大雁從北海飛到南海要用９天，問：若它們同時從兩地起飛，幾天後相遇？在《九章算術》中采取這樣的一種算法：把野鴨和大雁所需的飛行天數相加作為除數，把飛行的天數相乘作為被除數，兩數相除的結果即是相遇的天數。算式是：
７×９７＋９＝６３１６＝３１５１６在《九章算術》中隻說明了解題的方法，沒有說明這樣做的原因。劉徽所做的就是解釋這種解題方法的工作。為求野鴨與大雁相遇的天數，就應求它們能共同飛完全程的天數（最小公倍數），即將野鴨的７天乘以大雁的９天，得出６３天的數字。這就是說，在６３天中野鴨可全程飛完９次，大雁可全程飛完７次。
如果野鴨和大雁一起飛行這段時間，就一共飛行了７＋９次即１６次，或者說它們可以相遇１６次，這樣野鴨和大雁合作全程飛行一次，就隻需要６３１６＝３１５１６天。按照題意列出算圖：
（天數次數）（９７大雁１次野鴨１次）→６３７６３９合作→（６３７＋９）“鳧雁問題”是《九章算術》中“均輸”章裏的一個問題。
劉徽是用比例算法來運算的，這說明魏晉時的數學家們認識到：
“比”是數量之間的聯係，“分數”是一種數，“除法”是一種運算方法。
《九章算術》是我國古代最早的數學著作之一，它可能是經過許多人增補刪訂而成的。全書共收集了２４６個數學問題與解法，並分為“方田”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、“商功”、“均輸”、“盈不足”、“方程”、及“勾股”等九章。劉徽見到的《九章算術》存在一些遺殘，也有一些刪補痕跡。於是，他就決心給《九章算術》作注，對其中的問題作詳盡的講解。
劉徽的工作很有價值，並有不少創見：
如在注釋第四章“少廣”時，有幾道問題是由已知的麵積和體積反求一邊之長，這種問題講的是開平方或開立方的方法。運算中，劉徽認為開方開到個位還開不盡，就應當繼續往下開，求其“微數”。這“微數”就是現代數學中的小數，它是我國古代數學研究中對十進位製的成功運用，並采用十進位製分數的方式來標示小數。其微數第一位數以１０為分母，第二位數以１００為分母，第三位數以１０００為分母。如３.１４１６，劉徽就把它寫成：
３１１０４１００１１０００６１００００這雖然不是現代小數的標準寫法，但卻也是一種小數的準確表述，比１５８５年比利時數學家斯蒂文發明的小數概念和記述法要早１３００多年。
又如《九章算術》第一章“方田”，在計算圓形田畝的麵積時，采用了傳統的“周三徑一”的說法，將“圓周率”定為３。
劉徽認為，這個數字誤差太大，在注釋時，他創造出一種當時最新最科學的計算圓周率的方法：“割圓術”。他說：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。”
這話的意思是：在圓內作圓內接正多邊形，從正１２邊形、正２４邊形、正４８邊形、正９６邊形……邊數越多越接近於圓的周長。