阿貝爾證明了五次以上的多項式方程不能利用根式求得一般解。然而，可解的必要條件及其求解方法要等到伽羅瓦來給出。
伽羅瓦的一生是短暫的而且充滿了災難。作為一位傑出的天才數學家，他性情易變和世人對他的不公正，使他成為一位悲劇人物。對那些不如他聰明的人，他從不寬容，而且他憎恨權威人士所帶來的不公正。伽羅瓦在讀到勒讓德的《幾何原理》（出版於１７９４年並成為之後１００年來幾何學的主要教科書）一書之前，他並沒有顯示出自己的數學才能。他讀了《幾何原理》之後，就如饑似渴地學習勒讓德和阿貝爾的著作。他的狂熱、他的自負及他的急躁使他與他的老師以及考試官之間的關係遭到了損害。在數學家的搖籃———巴黎工學院的入學考試時，沒有作任何準備的伽羅瓦當然落了榜。由於他遇到了一位賞識他的老師，他落榜的痛苦被暫時壓了下去。１８２９年３月，伽羅瓦發表了關於連分數的第一篇論文。他一直認為這是他最重要的工作。伽羅瓦把這些新發現投到了法國科學院。柯西答應給他發表，但是柯西卻忘記了自己的諾言，更糟的是柯西把伽羅瓦的手稿給弄丟了。
伽羅瓦的第二次巴黎工學院入學考試的失敗成了一個數學逸事：他習慣於用腦而不是用筆來處理複雜的概念，再加上主考官的吹毛求疵，伽羅瓦被激怒了，當發現他的麵試很糟時，他把黑板擦扔到了一位主考官的臉上。一個牧師的陰謀誹謗，促使伽羅瓦的父親自殺，而且在他父親的葬禮上還發生了一場騷亂。在他父親死後不久的１８３０年２月，伽羅瓦又寫了三篇論文，並投給法國科學院的數學大獎賽進行評選。作為此次大獎賽評委的傅裏葉在沒有讀到這些文稿時就去世了，而從此以後這三篇文稿就再也沒有找到。這一係列令人失望的事情無論對誰都是一場考驗。
這也使伽羅瓦對科學院的體製感到反感。在這一體製下，他沒有得到應該得到的一切。他輕率地投身到了政治運動中，成為一名堅定的共和黨人。這在１８３０年的法國不是一個聰明的選擇。作為最後的一次努力，他將一份研究報告寄給了泊鬆，而泊鬆的回應是，這些結果需要進一步的證明。這是他最後的一線希望。１８３１年，伽羅瓦兩次被捕：一次是涉嫌煽動暗殺國王路易菲利普；另一次是由於當權者害怕共和黨人造反，他被安上非法穿著他曾加入的當時已解體的炮兵軍營的製服這一捏造的罪名，他被判處入獄６個月。在假釋期間，一件風流韻事同其他事情一樣使他對世人感到厭惡。在給他的親密朋友夏瓦立葉的一封信中，伽羅瓦述說了對生命希望的破滅。１８３２年５月２９日，他接受了一場決鬥，這場決鬥的原因至今不明。
他在一封給所有共和黨人的信中這樣寫道：“我死於一個聲名狼藉、無恥的賣弄風情的女人之手，在一次悲慘的決鬥中，我的生命消失了。”伽羅瓦最著名的著作是在決鬥的前一夜完成的。在手稿的頁邊的空白處，他寫到“我沒有時間了，我沒有時間了”。
他必須把與理解主要結果無關緊要的一些中間過程留給其他人來完成。他需要寫下他所發現的要點。這篇論文中的第一個主要結果就是伽羅瓦理論。文章最後是給夏瓦立葉的遺囑，他懇求夏瓦立葉去“公開質問雅可比和高斯，要求他們給出評價，不是問他們結果是否真實，而是如何評價這些定理的重要性”。那一天的清晨，伽羅瓦與他的敵手相會，兩人相隔２５步遠，伽羅瓦在決鬥中受了槍傷，第二天早晨死於醫院，年僅２１歲。
伽羅瓦的研究基於拉格朗日和柯西的以往研究，但他對關於五次方程的問題做出了突破性的工作，找到了更一般的方法。他並沒有抓住原來的五次方程及它的圖形解釋不放，而是著眼於五次根自身的特性。為了簡化起見，伽羅瓦研究了沒有實根的所謂的不可約方程（因為如果五次方程有實根，則五次方程就可以分解成四次方程，因此存在代數解法）。一般的，實係數不可約多項式是不能分解成更簡單的實係數多項式乘積的多項式。例如，（ｘ５－１）可以因式分解成（ｘ－１）（ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１），而（ｘ５－２）則是不可約的。對於任意給定次數的實係數且無實數解的多項式不可約代數方程，伽羅瓦的方法，是建立能夠利用開方根來對方程求解的條件。
這一方法的關鍵是發現任意不可約代數方程的根不是獨立的，而是能用另一個根來表示的。這些關係可以對根的所有可能的置換構成的群，這就是對根的對稱群加以形式化而得到。對於五次方程，這樣的群含有５！＝５×４×３×２×１＝１２０個元素。伽羅瓦理論的數學工具非常複雜，這也可能是他的理論沒能很快被接受的原因之一。但是，從代數方程的解到它們的相應的代數結構的這一抽象性的提高，使伽羅瓦能夠從相關的群的性質來判斷方程是否可解。不僅如此，伽羅瓦理論還為我們提供了尋找方程解的方法。關於五次方程，劉維爾於１８４６年在他的《純粹與應用數學雜誌》上發表了伽羅瓦的許多研究成果並注釋道：“伽羅瓦已經證明了的這一‘美妙的定理’：一個素數次的不可約方程用根式可解，當且僅當它的任意根是任何其中兩根的有理函數。”
由於不可約五次方程不存在這樣的關係，因此五次方程不能用根式求解。
在這三年期間，數學界失去了兩顆最璀璨的新星。阿貝爾和伽羅瓦都是在死後才得到了他們應有的重視。１８２９年，雅可比從勒讓德那裏得知阿貝爾的“丟失了的”手稿的事，１８３０年挪威駐巴黎領事要求尋找阿貝爾的論文，引發了一場外交風暴。柯西最終找到了阿貝爾的研究報告，但是又被法國科學院的編輯給弄丟了！同年，阿貝爾同雅可比一起獲得了數學大獎，不過這時阿貝爾已經死了。阿貝爾的研究報告最終於１８４１年出版。１８４６年劉維爾編輯發行了伽羅瓦的一些手稿。劉維爾悲歎道：法國科學院由於伽羅瓦的文章的含糊不清而拒絕接受。然而“當一個試圖把讀者從一條他人走過的路帶向一個新的領域時，的確需要清晰的描述”。劉維爾接著寫道，“伽羅瓦已經不存在了，我們不要再糾纏於無用的相互責難之中，讓我們忘記過失，關注我們所取得的成績。”伽羅瓦在其短暫的一生中的成果總計不到６０頁。論戰仍沒有結束，為報考巴黎高等師範學校和巴黎工學院的考生而刊發的數學雜誌的編輯，對伽羅瓦事件作出了以下的評述：“一個才智過人的考生由於弱智的主考官而落榜，因為他們不理解我，我是一個野蠻人。”
優美的代數語言我們已經看到了代數是怎樣從幾何空間的束縛中解放出來的。我們還看到了，從笛卡兒起，ｘ與ｙ這樣的代數符號是怎樣表示任意數值以及如何按與算術的法則相容的方式組合起來的。
本章回顧代數學在歐洲的發展曆程。最初由英國采納，然而再把形成的方法在歐洲大陸推廣。隨著代數學不同通用語言的傳播，使數學到底是什麼這一根本問題，再次成為討論的焦點。
對任意數ｘ，ｙ和ｚ算術運算的主要代數法則ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ加法滿足交換律：兩數之和與加數的順序無關ｘ·ｙ＝ｙ·ｘ乘法滿足交換律ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ加法滿足交換律：兩數之和與加數的順序無關ｘ＋０＝ｘ加法含有單位元“０”，它使所有的數不變ｘ·１＝ｘ乘法含有單位元“１”，它使所有的數不變ｘ·（ｙ＋ｚ）＝ｘ·ｙ＋ｘ·ｚ乘法與加法相結合英國的數學分析滯後於歐洲的其他國家。大部分原因是由於英國人忠於牛頓的流數術的符號體係，而這一符號體係比不上萊布尼茲的符號體係：ｄｙ／ｄｘ。英國人對分析學的重新定位雖然在初期受到抵製，但給英國的數學帶來了深遠的影響。１８１７年，喬治·皮科克（ＧｅｏｒｇｅＰｅａｃｏｃｋ，１７９１—１８５８）在劍橋大學擔任榮譽學位考試官時，最終使用微分符號代替了流數術的符號。查爾斯·巴貝奇說，１８１３年創建的分析學會的目標，是促進“使用微分符號取代流數術符號”，另一目標是“使世界更合理”。皮科克在他的《代數論》中表明要把代數組建成“一種可論證的科學”。這項工作的第一步是把算術代數和符號代數分開：算術代數是由數和運算符組成的，而符號代數是“關於符號與運算符的組合的科學。這樣的組合僅依賴於某些特定規則，與符號本身的特定值無關”。這看起來模糊的陳述卻打開了對代數學廣泛研究的大門。
憑著堅定的決心和聰明才智，一個完全不知名的鄉村中學教師喬治·布爾（ＧｅｏｒｇｅＢｏｏｌｅ，１８１５—１８６４）開始著手寫他的第一篇關於數理邏輯的論文。後來布爾成了德·摩爾根的朋友。德·摩爾根在有關邏輯的爭論中得到了蘇格蘭哲學家威廉·漢彌爾頓的支持。這裏的漢彌爾頓與愛爾蘭的威廉·羅文·漢彌爾頓不是同一人。這場辯論現在來說並不重要，但它卻激勵了通過自學成為數學家和語言學家的布爾於１８４７年發表了一篇題為《邏輯的數學分析》的短篇論文。就在同一年，德·摩爾根自己的《形式邏輯》也出版了。兩年後，很可能是由於德·摩爾根的支持，布爾被任命擔任在愛爾蘭的科克新成立的女王學院的數學教授。
布爾堅定地認為邏輯應被看成是數學的一個分支而不是形而上學的一部分，而且他還認為邏輯的規則不是來源於一般的語言，而是以純形式元素構造出來的。隻有當邏輯結構形成以後，才有可能用語言來解釋。他否認數學隻是研究數和量的科學這一觀點，而這一觀點可以追溯到希臘。但他卻支持任何相容的符號邏輯體係都是數學的一部分的觀點。這使得我們第一次清楚地認識到：
數學不再是單純地研究數和量的科學，而且還是研究結構的科學。１８５４年，布爾在他出版的《思維規律的研究》中闡述了上述觀點，並建立了形式邏輯和一種新的代數，這種代數我們今天稱之為布爾代數。布爾代數實質上是事物一些類的代數。變量ｘ不再表示數，而是表示從一個給定域中選取一個類的智力行為。
例如，ｘ可以是“人”的域中“男人”的類。除了附加公理ｘ２＝ｘ之外，符號所遵循的規則與算術代數相同。在算術代數中隻有０，１滿足上述等式。而在布爾代數中，ｘ２＝ｘ總是永真的。例如取“人的集合”兩次，仍是人的集合。布爾同時也認為１和０有特殊意義：１代表全域，而０代表“空集”。
德·摩爾根（ＡｕｇｔａｓｔｕｓＤｅＭｏｒｇａｎ，１８０６—１８７１）是新代數的堅定支持者。他出生於印度，就學於劍橋大學三一學院。但是他不被認為是牛津或劍橋學派的一員，原因是盡管他是英格蘭教的成員，但是他拒絕參加為獲得碩士學位而需的神學考試。然而，在他２２歲那年，他被任命為新成立的長期以來一直被稱為倫敦大學而後來改稱為倫敦學院的教授。他極大地推進了皮科克的思想。早在１８３０年，他就曾敘述道：“除了一個例外以外，本章的所有算術或代數的陳述及符號均無具體的意義。符號代數是由符號及符號組合的規則決定的、許多具有不同意義的代數的語法規則。”這裏的例外是等號：ｘ＝ｙ表示ｘ和ｙ必須具有相同意義。這一陳述記載於名為《雙重代數與三角學》（１８３０年）一書中。這裏“雙重代數”指的是複數的二元性，以區別於關於實數的“單重代數”。可是，德·摩爾根似乎沒有完全抓住機會推廣自己的意見。他雖然看到了單重代數和雙重代數具有相似性，但他仍然相信不可能存在三重代數和四重代數。後來證明他的這一想法是錯誤的。
盡管雙親早逝，但漢彌爾頓的才能很早就顯現了出來。作為一個天才的語言學家，他５歲就能讀希臘文、希伯來文和拉丁文。他進入了都柏林三一學院學習。２２歲當他還在讀大學時，漢彌爾頓就已經獲得了愛爾蘭皇家天文學家、鄧辛克天文台台長和天文學教授的稱號。他的一個非常喜愛的研究課題，是空間和時間不可分的相關性，因為幾何學是空間的科學，代數學是時間的科學。１８３３年，漢彌爾頓在愛爾蘭皇家學會的講演中，對複數ａ＋ｉｂ作為（ａ，ｂ）這樣的有序數偶，並給出了ａ＋ｉｂ的相加和相乘的幾何解釋。
（ａ，ｂ）＋（ｃ，ｄ）＝（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）（ａ，ｂ）·（ｃ，ｄ）＝（ａｃ－ｂｄ，ａｄ＋ｂｃ）後來，他試圖把二維複數擴展到三維。在曲麵上看起來很簡單，定義三維複數ｚ＝ａ＋ｉｂ＋ｊｃ，而ｚ的模為槡ａ２＋ｂ２＋ｃ２。定義加法運算非常簡單，但乘法運算無法進行，因為：乘法運算不能交換。為了三維數和高維數，耗費了漢彌爾頓１０年的時光。
１８４３年１０月１６日，當他同妻子沿著皇宮邊的護城河散步時，突然有了靈感：把二維複數擴展到四元數而不是三元數，並且放棄乘法交換律。這樣，四元數被表示成Ｚ＝ａ＋ｉｂ＋ｊｃ＋ｋｄ，其中ｉ２＝ｊ２＝ｋ２＝ｉｊｋ＝－１。這意味著ｉｊ＝ｋ而ｊｉ＝－ｋ，所以不滿足交換律，而且整個結構是相容的。這樣，一種新的代數產生了。漢彌爾頓停下腳步並把這一公式用小刀刻在了布勞頓橋的石柱上。當天，他通知愛爾蘭皇家學會，說他要在下一次會議上宣讀一篇關於四元數的文章，他把這一四維數組叫做四元數。
這一重要的發現不僅產生了新代數，而且使得數學能夠自由地構造出新的代數體係。這也是他第一次表述了現在我們所知道的非交換代數的理論。非交換意味著：在三維空間中，兩個相繼的旋轉按照旋轉的次序的不同可以得到不同的結果。這與二維空間不同。漢彌爾頓的一生都用於研究這一新代數，並於１８５３年發表了《四元數講義》。他的主要工作是把四元數用於幾何學、微分幾何學及物理學。我們在下一章將會看到麥克斯韋用四元數的記號給出了電磁學的方程。漢彌爾頓確信四元數是完整描述宇宙規則的關鍵。他死於１８６５年，生前未完成《四元數基礎》。這部書後來由他的兒子編輯出版。
這一時期，不僅代數學脫離了幾何學的束縛，而且幾何學也從空間的概念中解放出來。在第１６章，代數學和幾何學都逐漸被作為純抽象的結構來研究。我們熟悉的算術代數及二維和三維幾何都是它們的特殊情況。在新代數領域中，我們看到了美國數學正慢慢崛起。哈佛大學數學教授和《測地學觀察》主編本傑明·皮爾斯（ＢｅｎｊａｍｉｎＰｅｉｒｃｅ，１８０９—１８９０）受到了漢彌爾頓研究的影響，並將漢彌爾頓的研究傳播到了美國。皮爾斯構造了１６２種不同代數的表。每種代數從２個到６個元素開始，將它們用加法運算和乘法運算結合起來，並滿足乘法對加法的分配律。每個代數體係都有加法單位元“０”，但不一定含有乘法單位元“１”。這些線性結合代數被表示成矩陣。在１９世紀７０年代，作為哈佛大學教授的皮爾斯，也隻能借助女士抄寫用石版印刷來出版他的著作。由此可以想象當時美國的經濟狀況是多麼糟糕，正因如此，皮爾斯的著作隻印刷了１００份。皮爾斯的兒子查爾斯·桑德斯·皮爾斯（ＣｈａｒｌｅｓＳａｎｄｅｒｓＰｅｉｒｃｅ，１８３９—１９１４）繼承了父親的工作，證明了１６２個代數體係中隻有３個體係可以唯一定義除法運算：它們是算術代數、複數代數和四元數代數。再回過頭來看英國，威廉·金頓·克利福德（ＷｉｌｌｉａｍＫｉｎｇｄｏｎＣｌｉｆｆｏｒｄ，１８４５—１８７９）創建了現在我們所知道的克利福德代數，特別是研究了主要用於描述非歐空間運動的八元數和十元數。代數發展到這一步已經走了很長的一段路程。
此後，數學將朝沿著交織在一起的不同的方向發展。布爾的追隨者將數學應用於邏輯，產生了代數邏輯。皮亞諾以及後來的羅素試圖從邏輯中得到數學：一個可以稱為邏輯主義的宏偉計劃。另一些人鑒於出現了如此多的新數學結構，開始尋找數學的可靠基礎以鞏固數學體係。