在１９世紀普魯士人發明了一種叫做“兵棋”（Ｋｒｉｅｇｓｐｉｅｌ）的戰爭博弈。這是一種純戰術棋類博弈，而且該博弈變得越來越真實。在博弈中，裁判員根據實際戰爭中所獲得數據進行勝負的裁決。普魯士軍隊在軍事上的成功，很大程度上依賴於從這一博弈中獲得的戰術素養。遠到美國和日本，許多國家都開始研究戰爭博弈。在第一次世界大戰中，德國的失敗打破了博弈的神話。
新武器及運輸係統的高速發展意味著需要修改軍事策略的整個基礎。因此，一方麵軍事需要數學家和科學家來發展軍事裝備，另一方麵也需要他們給以策略上的指導。至今為止，在軍事曆史上，這些策略是將軍們的工作。第二次世界大戰後，兩個擁有破壞性武器的超級大國的存在，從根本上改變了戰爭規則。
但人們堅持用數學方法來分析策略博弈，以得到有實用價值的理論。波萊爾是法國數學家和２０世紀２０年代的法國海軍部長。他在《對策論》一書中分析了紙牌遊戲中的鬥智問題，並分析了對策論在經濟和政治中的應用。在普林斯頓大學的匈牙利數學家馮·諾依曼以及同校的奧地利經濟學家摩根斯頓合寫的經典著作《對策論與經濟行為》中，我們可以看到波萊爾的影響。他們把對策論作為經濟交互作用的可能模型，雖然這一新理論在早期與軍事的關係更大，但是經濟學家們還是逐漸接受了它。
馮·諾依曼出生於匈牙利的布達佩斯，自小就顯示出計算的才能。１９２１年，他進入了布達佩斯大學，盡管他一次課也沒有上過，但仍於１９２６年以對策論的論文而獲得博士學位。在柏林和蘇黎世期間，他沒有按照他父親為他選定的科目學習化學，而是繼續向外爾、波依亞等數學家學習數學，後來在哥廷根又向希爾伯特學習數學。１９３０年，他來到普林斯頓，１９３３年成為新建立的普林斯頓高等研究院首批的５位終身教授之一，從此就一直在那裏工作。納粹當權時，他辭去了在德國的職位，並決定移居美國。他並不是作為難民逃亡美國的，而是他認為那裏有更多的機會。１９４０年起，他擔任了軍事事務中各個領域的顧問。在洛斯阿拉莫斯，為製造原子彈，他研究了量子力學。１９５５年，他擔任了美國原子能委員會委員。在談到蘇黎世時期的馮·諾依曼時，波伊亞說：“他是我唯一畏懼的學生。當我在課上講一個未解決的問題時，他經常是在下課後就在一張紙片上用潦草的字給出完整的解答。”１９５７年，馮·諾依曼死於癌症，據他的朋友們告知，他為自己不能繼續進行研究工作而感到絕望。他最著名的工作是關於對策論、量子力學及計算機理論的研究。
最單純的博弈是兩人雙策略零和博弈。在此博弈中，兩個非常理智的玩家都企圖戰勝對方，在博弈中總分是零，一個人贏的分數就是對方失去的分數。一個最有趣的例子是分蛋糕的遊戲，這是兩個孩子分蛋糕時經常出現的場麵。怎樣分才能使得孩子們不感覺到對方的蛋糕比自己的大呢？這一遊戲的解分為兩個步驟：一個孩子先把蛋糕切成兩半，然後由另一個孩子挑選蛋糕。
每個孩子都喜歡要大的那塊。在每一個孩子都認為對方是貪婪的這一合理假設下，存在最優解。第一個孩子必須用最公正的方法切蛋糕，否則如果其中有一塊大得很多，那麼毫無疑問第二個孩子一定會選擇大的那一塊。這被馮·諾依曼對稱為極小極大理論進行了闡述，在上述兩個玩家參與的情況下，存在“鞍點”或最優解。極小極大理論被推廣到有更多玩家的情況，隨著玩家人數的增加，求最優解的過程越來越複雜。多數討論博弈的書中都給每位玩家準備一張表；隨著玩家的增多這些表變得越來越大，需要很大的矩陣來進行計算。
２０世紀４０年代，納什把馮·諾依曼的理論推廣到了非零和博弈中。這一博弈的一個例子就是股票市場。炒股的人中有贏的，也有輸的。但是錢的總數是隨著股票市場資本的增加而變化。納什發現非零和博弈也有一個“均衡”的解。納什於１９２８年出生於弗吉尼亞，畢業於卡耐基技術學院，並於１９５０年以論文《關於非零和博弈》獲得博士學位。他在讀博士期間寫的一篇論文使他在很久以後的１９９４年獲得了諾貝爾經濟學獎。從１９５１年起，他執教於麻省理工學院，也就是在這裏，他在黎曼流動幾何學和歐氏空間領域做出了突破性的工作。１９５９年，這位最有希望的年輕科學家得了精神分裂症。１９９６年在世界精神病學會上，他講述了７０年代他的經曆和康複過程。他繼續做了許多出色的工作，甚至他在住院期間也沒有停止對幾何學、拓撲學和微分方程以及幾何空間等領域的研究。
納什的研究表明，在許多情況下，最優解並不是產生於那些顯而易見的行為過程中。所謂的“囚犯的難題”這一著名例子就說明了這一點。這個例子是由德累瑟設計而塔柯在給精神科學生講課時解釋的。經過複述，它已經有些變動，但是塔柯所解釋的原型是：有兩個犯人被拘留，並且分別關押在不同的房間；如果其中的一個人坦白了，則他將受到獎賞而另一個人則要受到懲罰；如果兩個人都坦白了，則他們兩個人都要被懲罰；如果他們都不坦白，則他們將被釋放。如此進退兩難的選擇的最佳選擇是：這兩個人都保持沉默，從而兩個人都將被釋放。但兩人都有這樣的擔心：如果另一個人坦白了的話，自己將會被懲罰。這一擔心可能導致兩個人都坦白，結果使這兩個人都受到懲罰。這一策略博弈和設想被用於軍事、商業和個人之間的談判領域。實踐發現，人們對最優解具有敏銳的意識，而一個偶然的失誤將導致對方的反擊，這就是被稱為以牙還牙（ｔｉｔ－ｆｏｒ－ｔａｔ）的戰術。
在一些博弈當中存在著最優對策，一旦這一最優對策被發現，則這一博弈也隨即變得毫無價值。例如○×遊戲，就是一個在孩子們中流行的遊戲，但是這一遊戲的要點一旦被孩子們掌握，每個玩者都變得聰明起來，因此每一局都會打成平手，這樣孩子們對遊戲的興趣就會減退。納什證明了，即使是國際象棋也有一個最優策略。但由於國際象棋太複雜，致使這一最佳策略仍沒有被發現，甚至對最優策略將是平局還是白方勝也不清楚。如果一個最優策略被發現，那麼國際象棋就會像○×遊戲一樣變得毫無價值。對付核戰爭是否有最優策略呢？在短暫的若幹年裏，美國是唯一擁有核武器的國家。由於害怕前蘇聯也將建立核武器裝備，一些發明家，如馮·諾依曼，甚至是羅素也倡導立即對前蘇聯進行首次核攻擊，並為加強全球和平建立一個世界協商機構。然而這一提議未能實施，而政策不久就傾向於遏止並建立ＭＡＤ，這些策略大多來自秘密智囊團ＲＡＮＤ。
利用第一次世界大戰後剩餘的防衛資金，智囊團ＲＡＮＤ於１９４５年成立。開始時，它是道格拉斯飛行航空計劃的一部分，於１９４８年正式成為從軍隊和商業部門籌集資金的非營利組織機構，這就是智囊團的原型。它的智囊致力於“想不能想的問題”，ＲＡＮＤ意為“研究與發展”（ｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ），它的主要研究就是在核世界中製定國家的策略。我們提到的２０世紀４０年代到５０年代的所有美國數學家當年都曾經在ＲＡＮＤ工作過。
納什向他們介紹了許多遊戲，包括兵棋。戰爭的後勤學仔細地研究了軍事行動的決策，並且安裝了自動防範係統以防意外的襲擊。由於擔心對立雙方武器貯存的增加，所以以牙還牙的策略似乎是不可取的：核博弈是一種隻能玩一次的博弈。對於兩代人實施霸權政治的濫用給世界的公眾與他們的領袖帶來影響。認為不能想象的事，雙方都不會去做。
ＲＡＮＤ的運作更像是一所大學而不像是個軍事機構，它給智囊團成員保持自己生活習慣的自由。辦公室２４小時開放。ＲＡＮＤ出版了許多著作。其中有１９５４年威廉姆斯出版的名著《資深策略家》，他把對策論運用於非軍事領域，其中也插入了一些黑色幽默。由於ＲＡＮＤ的成功，引發了大量智囊團的成立，但是沒有一個智囊團擁有如此激情的數學家這一專注於抽象思維的永久團隊。
在這樣的策略博弈中，所使用的術語是合作與競爭。由於對策論把人看成是完全利己的，因此，後來受到了人們的批判。但是研究表明：現實生活中的人們確實注重他們相關的收益。在零和博弈中，平局意味著雙方收益沒有變化。但是在像股票市場這樣的非零和博弈中，輸贏是相對的。玩家更注重的是自己贏得更多，而不是攻擊對方。因此，當雙方都能在交易中獲利時，雙方就會進行合作。雖然對策論在它的初期發展得比較緩慢，但現在它是市場經濟分析的主要工具。最近，它又被用於全球公共設施拍賣給私人企業的活動中。這使得政府在執照拍賣中獲得更多的稅收，同時也擴大了市場的發展。整個宏觀市場在競爭和合作中發展———這是一個對策論的世界。
物理“場”中的數學現象從１８世紀中期開始，伴隨著數學方法廣泛應用於對物理現象特別是物理運動的分析，微積分也在不斷地發展。微積分的應用包括了熱力學、天體力學、流體力學及對光、電、磁的研究。
這些學科都是通過建立描述物理現象的微分方程，以及開發求解這些方程的方法來解決問題的。由於難以求出微分方程的精確解，就把注意力引向近似方法。雖然上述學科所涉及的物理現象看起來是不同的，但它們都或多或少與空間的媒介相關聯。特別是從牛頓的《自然哲學的數學原理》開始，人們狂熱地爭論“作用於一段距離”的真實性。例如，重力是如何越過空間發生作用的；重力和磁力是否是同一種類型力的不同方麵，還是完全不同的現象；也許空間充滿了被稱為“以太”的物質？如果是的話，以太是什麼東西，它有什麼樣的性質等等。為了解釋這些疑問，我們將集中精力考察位勢理論的曆史以及它與電磁學的關係。
萊布尼茲的微積分被推廣到多元函數。這樣，與平麵上的曲線ｙ＝ｆ（ｘ）一樣，空間中的曲線ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）也成了研究的對象。於是，人們就有可能引進偏微分方程。在偏微分方程中針對每個變量可以獨立地對其餘變量求導。運動的粒子相互作用，可以表示為微分方程。從該微分方程的解可以得到該粒子運行的軌道。牛頓關於行星沿著橢圓軌道運行的研究結果，隻是通過作出例如太陽和行星都是一個質點這樣粗糙的假定，每個行星可以與其他行星相互獨立地加以處理而得到。現在，最初反對日心說模型和非圓形軌道的論調以失敗告終，而開始建立更加精確和完善的軌道模型，其中一個方法是著眼於動力係統中能量的變化，而位勢理論就是表示能量守恒這個物理觀念的數學方法。
天體力學要關注的一個重要現象是，行星畢竟不是沿著完全橢圓的軌道運行的，而是在這一軌道上搖擺著行進。事實上，越來越多的精確數據表明，太陽係的所有星球都偏離光滑的軌道。
由此人們開發了攝動理論，在該理論下，一個行星軌道不僅與它和太陽間的相互作用有關，而且與它和其他行星之間的相互作用也有關。這就使得使用數學進行分析極其困難，因為人們需要考慮的變量太多了。人們重點探討了三體問題：把太陽係簡化成隻有太陽、地球和月亮的體係。在這一體係下，我們得不到精確的解。１７４７年，歐拉開發了一個新方法：行星間的距離可以用三角級數展開式來近似。
這就是歐拉的《無窮小分析引論》所研究的主要問題。萊昂哈德·歐拉（ＬｅｏｎｈａｒｄＥｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）是曆史上最多產的數學家。在巴塞爾大學，歐拉得到了約翰·伯努利的特別指導（伯努利家族在幾個世代產生了許多優秀的數學家，是一個數學家族）。從１７２７年起，歐拉加入了由葉卡捷琳娜二世剛剛創建的彼得堡科學院。１７３３年，約翰·伯努利的兒子丹尼爾·伯努利回到家鄉巴塞爾，把聖彼得堡科學院教授的職位讓給了年輕的歐拉。
一年後，歐拉結了婚，後來他成了１３個孩子的父親，雖然隻有５個孩子活到了成人。他後來說，他的一些最重要的發現是抱著孩子及在孩子的喧嘩聲中得來的。但是他的視力嚴重衰退。１７４０年，他的一隻眼睛已經失明，１７７１年雙目失明。１７４１年，他應普魯士腓特列大帝的邀請來到柏林，並於幾年後擔任新成立的柏林科學院第一任數學研究所所長。歐拉於１７６６年回到聖彼得堡。
盡管當時他的雙目已近乎失明，但他的大部分研究是在此之後憑著富有獻身精神的助手們的幫助，及他非凡的記憶力完成的。
歐拉的數學成果實際上囊括了所有的數學領域，其中包括製圖法、造船術、曆法及金融等應用性質非常強的領域。但是他的成名作是《無窮小分析引論》（１７４８年）、《剛體運動理論》
（１７６５年）及在微積分學中的研究成果。他的研究工作為數學分析及分析力學奠定了基礎。數學中所用的函數符號ｆ（ｘ）及現在通用的圓周率“π”、自然對數的底“ｅ”，－１的平方根“ｉ”，求和符號“Σ”等，都是歐拉首先提出並開始使用的。他認為在對自然現象的建模過程中，幾何學、數論和分析學相輔相成共同發展。
使用攝動理論能得到更精確的行星軌道，但同時在理論上也產生了許多麻煩，那就是行星沒有理由停留在現有的軌道上。小小的擺動很容易被增幅，並使行星完全離開它的軌道。就好像一個天使還需要讓行星維持在它們原有的軌道運行上一樣（到了２０世紀，人們發現能夠用混沌理論解釋太陽係動力學），用來描述行星運動的方程變得越來越多而且越複雜。在法國，人們更喜歡用分析方法而不是用幾何方法來研究行星運動，從而產生了更多的難以處理的方程。分析方法以拉格朗日（ＪｏｓｅｐｈＬｏｕｉｓＬａｇｒａｎｇｅ，１７３６—１８１３）為代表。拉格朗日建立了“拉格朗日方程組”。拉格朗日的長達５００頁的《分析力學》（１７８８年）一書中沒有一個圖。１７９９年，他發表了係列著作《天體力學》的第一卷。該卷著重討論了位勢理論和攝動理論。法國科學家的許多成果產生於法蘭西革命時期，那時很多數學家都受到了政治動亂的幹擾。青年柯西（ＡｕｇｕｓｔｉｎＬｏｕｉｓＣａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）由於全家暫時離開了巴黎，僥幸逃過了法蘭西革命的最壞時期。從巴黎工學院畢業後，柯西在為拿破侖入侵英國而做港口的疏通工作，但是他更希望能集中精力研究數學。經過幾番周折，他終於在法國巴黎工學院得到了助理教授的職位。
柯西是一個多產的學者，其中最著名的著作有《無窮小計算講義》（１８２１年）和《微分學教程》（１８２９年），而他的全集多達２７卷。但是在１９世紀早期的法國的政治環境下，柯西一直沒有改變他的天主教信仰，因此他與同事之間的關係一直很緊張。
由於為了支持耶穌會而與法國科學院發生了衝突，在１８３０年又拒絕宣誓效忠新君主，他的教授職位被剝奪並且與查理十世同時被流放。返回巴黎後，雖然他是法蘭西學院數學教授職位的最佳人選，但仍兩次落選。隻是當１８４８年路易斯被推翻後，柯西才又重新成為工學院的教授。在１８４０年到１８４７年之間，柯西發表了長達４卷的《數學物理分析》，這一研究奠定了實分析和複分析的基礎，而實分析和複分析又是數學物理的基礎。
法國人利用截取冪級數來得到近似函數，並希望通過保留更多的項來取得更佳的近似的想法，受到了許多尋求更加可行的方法的人的批判。例如，１８６０年後期，查爾斯·德洛內在他發表的一篇文章中給出了一個占據了一整章的大方程，並給出了近６０種估計它的項的方法。１８３４年，漢彌爾頓向皇家學會提交了一篇論文，在該文中他提出了“漢彌爾頓方程”。漢彌爾頓使用一個特征方程來刻畫在一個能量場內任意多個質點的運動。不僅如此，漢彌爾頓自己也解釋道：他的表達式（方程）生產了一種解法，該方法不同於拉格朗日的求解方法，而拉格朗日的方法在求解過程中往往行不通。從１９世紀中葉開始，黎曼將位勢理論的方法及術語用於幾何學的研究中。這個被稱為微分幾何的新領域把微積分的概念擴展到三維空間。在三維空間中，點、曲線、麵這樣的幾何對象可以用向量描述，並且可以使用函數及作用於函數上的算子來刻畫速度、加速度以及能量等動力學概念。例如，對於一元函數ｆ（ｘ），隻定義了對變量ｘ的導數，而對三元函數ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），則定義了３個不同的向量算子。這些算子是：梯度算子（記為ｇｒａｄ）、旋度算子（記為ｃｕｒｌ）和散度算子（記為ｄｉｖ）。實際上，在一個動力係統中的每一個變量，都可被認為是這個係統中的“一個維”。黎曼對於高維空間的研究，使微分幾何學成為在一個統一框架中刻畫物理係統的理想工具。正是使用了微分幾何，麥克斯韋表述了他的電磁學理論。