１９世紀中期，產生了許多關於電與磁的實驗和理論結果。１８世紀８０年代，查爾斯·庫侖通過試驗發現兩個電荷間的引力與兩個電荷的乘積成正比，與兩者的距離的平方成反比。科學家們可以將在對重力的研究中得到的一些模型和方法，應用到靜電現象中去。１８１２年，泊鬆利用與上一世紀拉普拉斯的《天體力學》
類似方法研究了靜電現象。他設想電流是由存在於所有物體中的相反電荷的兩種流體形成的，同性電荷相斥，異性電荷相吸。第二年，他推導出了刻畫電勢和電荷密度間的關係的偏微分方程。
該方程被稱為泊鬆方程。１８２０年奧斯特通過帶電的電線能使磁針擺動這一現象發現了電磁學。這激發了安培研究電與磁之間的相互關係，對這一研究他采用了“電動力學”這一術語。安培使用數學方法證明了：同靜電力一樣，電磁力也滿足平方反比定律。
法拉第電磁感應的發現表明了電與磁之間是緊密相關的。但當時的物理理論還無法對此做出恰當的解釋。例如，安培提出的以太中微小的電力渦動是磁力傳播的機製這一觀點，將會碰到與笛卡兒在研究行星運行的渦動模型時所遇到的類似問題。
通過分析地球和月亮間的相互作用力，天文學家們清楚地認識到：由於兩個球體的大小及它們之間的距離，已不能把它們作為質點來考慮，而是應該考慮整個球體間的相互影響。從地球上的一點看，月亮的引力效應與月亮的體積或質量及形狀有關。物體在內部和表麵的受力關係在數學上被處理為體積分和麵積分的關係，這一關係於１８２８年被表述為格林定理。喬治·格林中年開始到劍橋大學學習數學，後來成為該校的研究員。格林定理是關於電磁位勢的定理，但也可以用於引力位勢。
１８７３年，繼法拉第之後，麥克斯韋發表了論文《電和磁》，論文中的主要概念是電場和磁場。麥克斯韋試圖避免被卷入關於以太本質和空間的真正本性的爭論中，采用自上而下的方法。該理論回避了依賴諸如電荷、電流這樣的不易理解的微觀概念，而是采取了宏觀的途徑：他假設了場的存在以及在運動時場與場之間、場與媒介之間存在著相互作用。麥克斯韋認為空間是一個具有彈性的連續體，因為空間是連續的，所以運動能夠從一點到另一點傳遞；又因為空間是有彈性的，所以媒介本身可以存貯動能和勢能。他大量地使用了位勢理論和微分幾何學，並最先分別用漢彌爾頓的四元數符號及笛卡兒的等價形式寫出了他的方程。而正是亥維賽給出了我們現在使用的矢量形式的麥克斯韋方程。
麥克斯韋的理論及表示形式並沒有馬上獲得成功。對麥可斯韋的場論，湯普森指責麥克斯韋為“神秘主義者”，這使得人們聯想起當牛頓提出重力時所受到的遭遇。這一時期對空間本質的認識比較混亂，而許多物理學家將麥克斯韋方程應用於自己的研究中。１８６１年，麥克斯韋推算出電磁波的速度與光速非常接近，從而促使他把光作為電磁波譜的一部分。１８８８年，赫茲通過實驗驗證電磁波譜的存在，從而證明了麥克斯韋理論的正確性。在同一時期，邁克耳孫和莫雷的實驗證明了如果存在以太，那麼當運動穿過它時，不管運動的物質是一個行星還是一束光線，媒介將不受影響。在實驗證據麵前，對於相隔一段距離的物體間相互作用的早時異議就完全消失了。１９０５年，愛因斯坦對時間和空間的觀念重新進行了探討。
麥克斯韋方程早期被應用於電報和無線電通信。亥維賽將麥克斯韋方程應用於電報學，考察了被別人忽視了的傳輸線裏的自感應效應，這項研究促進了感應線圈的產生。感應線圈被用於橫跨大西洋的電纜中，以便對信號進行增幅。１９０２年，馬可尼成功地將無線電信號傳到了大西洋彼岸。這給數理物理學家們提出了電磁波是如何在沿地球的大氣層中傳播的這一問題，特別是當接收器與發送器相距很遠時，電信工業自開創以來從未停留過前進的步伐。
探秘宇宙海洋中的數學奧妙所有早期文明都重視繪製地圖。不論是為了建築、征稅還是為了製訂作戰計劃，測量師的工作是與應用數學有關的最古老的職業之一。大約公元前２２００年拉格什城的蘇美爾統治者古得亞的一座雕像，展示了一位測量員，他手裏拿著寧基蘇神殿的按比例縮小的設計、圖、測量用的尺子以及書寫用的工具。這是我們知道的最早的按比例繪製的設計圖。人們在巴比倫的黏土板、埃及的紙草書及中國的絲綢上發現了地圖。羅馬人繼承了希臘人的測量傳統，當時的有關文獻中記載了測量及按比例繪圖的規則。
在繪製小區域的地圖時，我們可以假設這一區域是平坦的。
但當我們試圖畫更大區域的地圖時，地球的曲率就成了重要的要考慮的因素之一。我們不清楚人類是何時發現地球是球形的。有些人認為人類占據了地球的一半。厄拉多塞從公元前２４０年起，擔任亞曆山大新城的圖書館館長。他製作了第一張以科學原理為依據的地圖，該地圖含有經線和緯線，經線和緯線構成了不規則的坐標網格，但是這種繪製地圖的方法，在當時好像並沒有產生什麼影響。而托勒密於公元１５０年發表的《地理學》卻成了製圖學的標準教材，此書中說到地球是球形的，而且隻有一部分地區有人居住。地球的周長為１８００００視距（有人們認為視距大約１６０米），這一長度遠沒有厄拉多塞的２５００００視距精確。《地理學》
的偉大貢獻是奠定了把球麵投影到平麵的基礎。花剌子密修改了托勒密的地圖，他保留了托勒密關於地中海地區的那一部分，但提高了中亞地區的精確度。
把球形的地球投影到平麵上往往要產生一些失真。繪圖員最關心的是確定哪些因素使失真最厲害，哪些因素使失真最少。等角投影可以減少角和形狀上的失真；等積投影可以保持相對的麵積；等距投影可以保持相對距離。正像我們將要看到的那樣，陸地地圖和海洋圖有不同的要求。
１４世紀，隨著歐洲航海和貿易的發展，出現了帶有直線網格或羅盤方位線的航海指南圖，以幫助航海家們製定航海計劃。這些圖主要繪製於威尼斯、熱那亞和馬略卡島。雖然我們不清楚人們在製作這些航海圖時是否使用了特殊的投影技術，但是它們都相當精確。我們還不太了解在這一時期人們使用中國發明的羅盤的程度及天文導航的狀況。但是美洲大陸的發現及托勒密的《地理學》的出版，為繪製精確的世界地圖作好了準備。托勒密的《地理學》直到１５世紀才在歐洲露麵，首先在１４７７年印刷於波倉那。文藝複興時期人們使用了各種各樣的投影方法。這常常是由於美學的原因，如弗朗西斯科·羅塞利於１５０８年首次使用了流行的卵形世界地圖。這些投影基於圖形的結構，而不是基於三角公式。
被譽為“當代托勒密”的傑拉德·墨卡托（ＧｅｒａｒｄｕｓＭｅｒｃａｔｏｒ，１５１２—１５９４）為航海家設計了一套特別的投影法。墨卡托就學於洛文大學，學習哲學、數學、天文學和製圖學，他還是雕刻師和器械製作師。從１５３０年中期起，他繪製了一係列地圖，包括了佛蘭德地圖和巴勒斯坦地圖。１５４４年因異端行為被投入監獄，但由於大學的努力疏通，很快被釋放。之後他到了現在位於德國的克裏夫公國杜伊斯堡，並於１５６４年成為威廉公爵的宮廷“宇宙誌學家”。在１５６９年，就是在杜伊斯堡，他創建了“墨卡托投影法”，用以繪製世界地圖。該投影法的新穎之處是把經緯線畫成直線，以便於航海家們使用。在一個球麵上，如果一艘船沿著一個固定的方向行駛時，他的航線通常是一條曲線。事實上，假設按著固定的方向行駛（除非是朝著南北極之一行駛），它通常的航線是球麵上的一條曲線。實際上有可能連續沿一個固定方向，船舶會螺旋式地朝一個極前進。但是將這些航程線投影成直線，就可以減輕航海家的工作。墨卡托投影法的另外一個長處是：實際航線的變化角度和航海圖上的航線變化角度保持一致。雖然當緯度增高的時候會使地圖扭曲得很厲害，但是它仍是當時繪製世界地圖最常用的投影法。以後該投影法被彼得斯的等積投影法所取代。
在《航海中的失誤》（１５９９年）一書中，愛德華·賴特對墨卡托投影法進行了數學分析。在同一年由理查德·哈克盧特出版的《航海原理》一書中，賴特發表了基於墨卡托投影法的世界地圖。隨著對陸地和天體認識的深入，人們開始研製地球儀和天體儀。這些儀器通常是為了教學的需要，同時它們也被作為新知識的象征。在通常情況下，人們將地球儀和天體儀安裝在一起，使之成為雙胞胎球體。隨著天體觀測精確度的逐步增加以及三角投影法在法國、英國和其他歐洲國家的興起，世界地圖需要定時更新。
然而，為了繪製精確的地圖和航海圖，需要知道關鍵地點精確的經度和緯度。緯度很好計算，它們與北極的等高線一致。當時，為了確定緯度，人們可以利用太陽的位置並使用太陽光與赤道的夾角的偏差表對緯度進行修正。然而，經度就比較難以計算了。以某一個子午圈為零時區，從該子午圈開始每隔１５°產生時差為１小時的時區。當地時間可以通過天體觀測或日晷來確定。
但是，為此我們需要同時知道零時區的時間。一種方法是將月亮看成是夜晚的時鍾，通過觀測它在空中的運行來計算時間。但是月亮的運行軌道是非常不規則的，而且由於航海時間較長，所以隻有當航海家手中有早已繪製好的月亮運行軌跡表時，該方法才有效。格林尼治皇家天文台就是為這一目的於１６７５年創建的。
１７６７年皇家天文學家內維爾·馬斯基林發表了《航海年鑒》，年鑒含有一年中每隔３小時的月球位置表。那時約翰·哈裏森的航海鍾已接近完成，並且它很快成為在海上確定經度的有效工具。
該儀器有一個標準時間表，這樣通過對太陽或恒星的觀測來確定當地時間，然後利用當地時間與標準時間的差，就可給出海船所在地區的經度。
隨著人們發現地球並非是一個標準的球體而是一個扁平的球體———它的兩極比較平坦，投影法變得更加複雜。牛頓在《自然哲學的數學原理》中關於地球是扁平的論證，最終被實踐所證實。如果地球的兩極是平坦的話，同樣１°的緯度，兩極附近的長度比赤道附近的長度要長，同時由於地球的引力，緯度不同加速度也不同。人們組成了測量遠征探險隊來檢測這些結果。１７３５年，巴黎科學院決定派出特使團到拉普蘭和秘魯去測量北極與赤道附近緯度１°的差別。克裏斯蒂安·惠更斯關於單擺的經典研究指出，鍾擺的頻率與重力加速度的值有相關。這種差異早在１６７２年就已被注意到。為了使巴黎的單擺與在凱恩的單擺擺動得一樣快，必須縮短在巴黎的單擺的臂長。不幸的是，由於觀測的錯誤導致出了一個矛盾的結論。有些人甚至認為地球是一個瘦長的球體，也就是說在兩極被拉長而不是被壓扁了。到了１８３２年，美國的天文學家納薩尼爾·鮑迪奇測量了全球從拉普蘭到好望角的５２個地區。在他對拉普拉斯的《天體力學》的譯本中，他對上述測量結果加以分析，並給出了地球的扁率是１／２９７，這一結果在近百年之後才得到國際上的承認。
對地球不是標準球體的認識，促使人們去尋找一種不僅能處理平麵和圓球麵而且也能方便地處理一般球麵的三角學。在一個圓球麵上，三角形內角和大於１８０°，如果是一般球麵的話，三角形內角和的超出量將隨三角形的位置不同而變化。勒讓德於１７９９年在這一方麵做出了十分出色的研究，他尋找到了一個三角形的邊與三角形內角和的關係公式。使用這一計算公式，人們定義了新的投影法。用該公式我們可以計算出所需的扭曲度。蘭伯特於１７７２年發表了一係列的投影法，其中之一是現在仍在使用的保形圓錐投影法。用這一投影法將地球投影到一個錐麵上，該錐麵與地球麵在標準緯度上相接，把這個錐麵展開後就是一張平麵地圖。
貿易工具得到了迅速的改進。從希臘人繼承來的，由阿拉伯人完善的天體觀測儀天空投影是一種模擬計算機。通過旋轉一個刻著星座圖和各種天體軌道的圓盤，我們可以計算日出及日落的時間。緯度不同，星體的投影也不同，所以這種星盤通常由若幹個圓盤組成，每個圓盤對應於不同的緯度。這種星盤可以計算星體的地平緯度和方位，還可以計算時間和測量天文距離。阿拉伯人首先開始使用地平緯度和方位作為標準度量。地平緯度是天體與地平線的角度，方位是到子午線的角距。日晷也是常用的計時工具，它利用太陽的地平緯度或方位的變化來計時。多數刻度盤需要用指南針來定位，通過參照太陽在空中運動的速度的變化，刻度盤變得越來越精確。１７世紀，人們還製出了經調整緯度後可以運用於任意地區的通用日晷。簡易的水手天體觀測儀被象限儀所替代，由於有了光學儀器和更加精細的刻度，航海家、天文學家及測量員所使用的象限儀、六分儀以及相關的儀器的精度得到了極大的提高。對土地、海洋和天空測量精度要求的提高加大了計算量，提高精確度意味著計算量的增加，因而對數的使用在１７世紀具有重大的現實意義。盡管三角函數表和對數表中總是存在著一些印刷上的錯誤，航海家使用這些表仍可以簡化計算。計算尺的發明雖然沒有提高精確度，但大大節省了計算時間。從１８世紀起計算尺得到了廣泛應用。從那時起我們的宇宙觀已經完全不同於托勒密的宇宙觀：地球現在隻是一個行星，一個繞著太陽運轉的扁平球體。２０世紀後期，當人們開始利用人造地球衛星繪製地球軌道的改變著的地理結構時，我們終於可以從地球外麵來俯視地球了。
解密現代藝術與數學的親密關係２０世紀是物理學、生物學和人類科學等各個領域科學發現和技術進步的大爆炸時期。在啟蒙運動時期，人們相信已積累起來的知識給予我們以征服自然的無窮力量和掙脫現實世界束縛的能力。而藝術對這一時期的發展的反應卻並不總是正麵的。威廉·布萊克對牛頓的機械宇宙論的否定就是一個例證。２０世紀早期，相對論和量子力學使我們的宇宙觀發生了根本的變化，同時宇宙又變得神秘莫測起來。然而，在兩次世界大戰中，科學和政治的發展相互抵觸，的確有很多理由需要我們重新審視人類在宇宙中的位置。期望在將來，我們的智慧和其他知識能夠均衡發展。
下麵考察一下數學以及數學和物理的結合對大眾文化和藝術的影響。藝術是對哲學思想的改變和藝術家們對變化技術環境反應的最直接表現形式。可以肯定，數學並不是對所有文化運動都產生著關鍵性的影響。但是，考察數學充當了唯一的且重要的角色的那些文化領域，是非常有意思的。將數學術語恰當地運用於藝術表現的事實說明：藝術家們開始使用數學的語言和思想，並將其貫穿於五彩繽紛的藝術生活之中。
許多新興的藝術運動發生於２０世紀開始的前２０年，它接受了數學家們研究出的幾何語言和幾何思想。油畫和雕刻都非常自然地表現了二維和三維空間中的藝術形象。但是，現有的幾何學知識對展示人類和世界的全貌存在著一定的局限性。新幾何學能對新興的藝術形式產生怎樣的影響呢？
意大利文藝複興時期，透視學能夠使我們在二維空間的表麵上更真實地表現三維空間的物體。透視學拓寬了繪畫的語言，藝術家們很快就學會了這一新方法。後來，他們為了達到視覺和審美的效果，又有意識地打破了這些規則。２０世紀的立體主義、超現實主義和未來主義等術語都來自新幾何學的概念，如非歐幾何學、多維空間特別是四維空間。從總體上看，２０世紀初新幾何學對個別藝術家的影響要比對每次運動的影響大。２０世紀２０年代末，愛因斯坦的相對論中的四維時空變得越來越受到重視。但是在此之前，人們對空間的第四維已經做了大量的研究。在１９世紀中葉由羅巴切夫斯基和Ｊ.鮑耶於１８３０年左右分別獨立創立的非歐幾何學，帶來了一場幾何學革命。１８５４年，黎曼發表了一篇啟迪性的論文《關於幾何學基礎的假設》，該論文使多維空間的數學研究和探索宇宙空間奧秘的物理實驗又上了一個台階。現在，歐氏幾何學隻是多種幾何學中的一種。刻畫空間真理的真實幾何，以前是，將來也是數學家和物理學家的研究對象。