但與此同時，藝術家們已開始涉足關於感知和表現的幾何學。首先，如果我們將三維空間的思想擴展到第四維上去，我們馬上就會遇到如何表達的問題。艾德溫·艾伯特於１８４４年出版的《平地》（１８４４年）一書中，就有一個極佳的類比：從四維空間觀察三維空間時，就好像我們三維空間的人觀察一個二維空間“平地”的物體一樣。克勞德·伯拉頓在很多書中都描繪了上述觀點，包括《平麵上的人：一個高維空間的寓言》（１９１２年）一書。這一觀點的關鍵，是通過一個物體的切片或橫截麵使我們對整個物體有一個直觀的認識。這樣，當我們用油畫來描繪一個物體時，無論這一物體是存在於三維還是四維空間，我們都需要這一物體在不同角度的切片或多重透視圖。這正是立體派描繪物體的一種手法。人們認為透視法具有局限性，它所提供對物體的觀測過於狹窄，所以透視法遭到了拒絕。哲學家康德把應對物體的感知和物體本身加以區別的觀點，也推進了立體派的多重透視表現形式的發展。事實上，立體派對第四維給出了一些超越了純數學和空間範圍的陳述。有一些陳述體現了柏拉圖的神秘的、不合理的哲學理念。簡而言之，第四維使得藝術家們得以突破三維透視，自由地探索現實。這種自由不僅存在於立體主義者中，也存在於意大利的未來主義者中。意大利未來主義者於１９０９年發表的《智慧宣言》，由政治和藝術兩部分組成，它推進了現代主義、工業主義和技術的進步與發展。波丘尼、塞維裏尼和巴拉等藝術家表達出了第四維的活力。亨利·龐加萊是一位最有影響力的法國數學家。他是一位受人尊敬的學者。他的著作涉及數學、政治、教育和倫理學等各個領域。１９０６年，他擔任了法國科學院的院長。他的科普讀物將物理和數學推向整個社會。他的知識相對性的哲學思想和對數學的創造性思維的關注，在２０世紀早期產生了巨大的影響。所謂的數學的創造性思維，包括了像在解決難題時的非邏輯的潛意識思維。莫裏斯·普林斯特是一個不太知名的數學家，這也許是由於他的影響隻限於立體派藝術家的圈子裏。他還是保險統計師和業餘油畫愛好者，並且與藝術家麥欽格和格裏斯一起研究探討了非歐幾何學。
１９０５年，當愛因斯坦還是一位專利局的審查員時，就發表了他的狹義相對論。１９１６年，當時已是教授的愛因斯坦發表了廣義相對論。到了２０世紀２０年代末，把第四維作為空間維度的觀念，幾乎完全被作為時間維度的第四維度所取代。時間因而和運動就成了藝術家們關注的焦點，例如藝術家杜尚及波丘尼等。其中，波丘尼就有一幅雕刻是《空間持續性的獨特造型》（１９１３年）。還有其他藝術家如庫普卡以及馬列維奇的抽象派藝術。
立體派是由畢加索和布拉克所創建的。畢加索１９０７年的油畫《亞威農少女們》是第一幅立體派油畫。立體派的鼎盛時期結束於１９２２年。從那時起，立體派的實踐者們，摒棄了早期的立體派的統一風格。雖然立體派也是藝術的一個學派，但是在學派內部，總是存在著不同的哲學指導思想和實踐。畢加索本人並沒有受到多少數學思想的影響，而是受到了塞尚的移動透視法和非洲藝術結構及雕刻術的影響。布拉克本人最關注的是幾何表現形式，而事實上，正是他啟用了“立體主義”這一術語。的確，有一部分人還在繼續關注透視和結構的古典幾何因素。１９１２年，巴黎舉行了一個具有深遠影響的名為“黃金分割”的畫展。“黃金分割”指的是建築和藝術中常常出現的經典比例。此時，藝術家，如格裏斯和維庸等都已接近於純抽象派，立體派純抽象和的幾何形式從所有的表現形式中消失。
與第四維的影響相比，非歐幾何學對２０世紀初期的藝術的影響更加難以定量化。其原因可能是在於對非歐空間的表現上的困難。意大利數學家貝爾特拉米（ＥｕｇｅｎｉｏＢｅｌｔｒａｍｉ，１８３５—１９００）製作了一個偽球麵實物模型來表示羅巴切夫斯基幾何，它的存在本身足以激發藝術家的想象。也許它的形式化的數學特征使得它不如第四維那樣給藝術家們帶來更多的藝術自由，隻有油畫家杜尚等少數幾個人曾說服畫家們學習數學和科學。然而，非歐幾何學的思想，對超現實主義畫家及超現實主義的創始人達達、特裏斯坦產生了影響。
１９３６年，油畫家希拉托出版了他的《維數主義宣言》，引用了愛因斯坦的理論作為它的靈感之一。《維數主義宣言》聲稱：
“受到了世界新概念的鼓舞，藝術發展到了新的空間。”油畫開始離開平麵向空間發展，並由此產生了新的空間結構和多媒體裝置。該宣言還強調：“雕刻應該放棄封閉的、一成不變的、沒有活力的空間，即歐幾裏得的三維空間，以便征服閔科夫斯基的四維空間的藝術表現形式。”有許多著名的藝術家在這一宣言上簽字。宣言允許對第四維的各種主流的解釋，即作為空間的維度、作為精神的第四維度及作為時間的第四維度。然而，總的來說，２０世紀３０年代，除超現實主義外，很少有油畫家對空間第四維度或非歐幾何空間感興趣。勃勒東發現了特別適合於他的新“超現實主義”觀點的新幾何學。雖然勃勒東的超現實主義的理論在很大程度上基於弗洛伊德的潛意識分析，但是，高維空間對他的理論也有啟發作用。他把時空四維空間與無理性或潛意識的更高維結合起來。我們可以從一些作品的題目中看到人們對多維空間的興趣。例如恩斯特的《被非歐空間蒼蠅的飛行所吸引的年輕人》（１９４２年）。從一些作品的內容中也可以發現對多維空間的興趣，例如，超現實主義畫家達利有名的作品《記憶的持續》（１９３１年）所表示出的憐憫注視的手法以及１９５４年的《耶穌殉難》中所表現的超立體手法，都顯示出藝術家們對高維空間的興趣。最具有科學性的現實主義者是多明古艾茲，他是一個雕刻家，迷上了物體在時間中的生存狀態。他的“石板延續表麵”的這一思想似乎與波丘尼的雕刻非常接近。
１９３９年，多明古艾茲發表了一係列高維空間的所謂的“宇宙”
的油畫。他的多麵體表現形式曾被人們與龐加萊所展示的幾何模型及曼·雷為１９３６年超現實主義展覽而拍攝的幾何模型相對比。
真正數學化的、美觀的非歐幾何的表現形式的實現要等到高性能計算機的出現。
作為純粹數學理論的新興多維幾何學及非歐幾何學不僅被用於新興物理學，而且給藝術及尋求推翻已有的思維模式的哲學運動以啟迪。在藝術界，這些表現方式以各種形式被大家接受，包括了從精神到無政府狀態，甚至二者兼而有之。放棄歐氏幾何學，作為典範意味著為生命、宇宙和萬物創造了一個新的透視法。天文智慧宮的數學秘密７世紀阿拉伯半島興起了一種一神論的宗教，並且傳播到了基督和波斯社會。６２２年先知穆罕默德從麥加逃出，在麥地那避難。僅隔８年，他帶領軍隊勝利地攻進麥加。受到穆罕默德的啟示錄的啟示，他的信徒傳播了可蘭經的預言並建立了伊斯蘭帝國。在帝國的鼎盛時期，國土從科爾多瓦一直延伸到撒馬爾罕。
早期帝國由伍麥葉王朝統治，首都位於大馬士革。７５０年伍麥葉王朝被阿拔斯人推翻，並遷都巴格達。伍麥葉餘黨逃到了西班牙，並建立了由其餘黨組成的伊斯蘭國家。
阿拔斯人的伊斯蘭教國家，在巴格達尋求建立一個新的亞曆山大城。他們在這一新的亞曆山大城中創建了天文台、圖書館和稱為“智慧宮”的研究中心。為了把當時所有能夠收集到的文獻都翻譯成阿拉伯語，他們實施了一項巨大的翻譯工程。在阿拉伯數學中我們可以看到巴比倫、印度以及希臘思想的影響。阿拉伯人綜合和發展了前人的研究，並誘發了基礎性的研究，特別是代數學及三角學的基礎研究。雖然代數符號論來自歐洲，但代數的思想卻應歸功於阿拉伯數學。盡管早期的數學通常是用代數來解釋的，但明確認識到幾何問題可以用代數來表示，幾何方法可以轉化為代數算法，以及代數方法可以超過原有的幾何方法並向前進一步發展等等，這些思想都是阿拉伯人的貢獻。
丟番圖（ＤｉｏｐｈａｎｔｕｓｏｆＡｌｅｘａｎｄｒｉａ，約２００—約２８４）的《算術》是代數學史上的一部影響深遠的著作。通過破解傳說中刻在丟番圖墓碑上的數學謎語，我們可以知道他的終年，但還是不能確定他是哪一個世紀的人。人們認為《算術》是希臘數學的劃時代傑作。《算術》的核心內容，是關於以代數方法解方程和不定方程的研究，這裏的方法不依賴於幾何證明。關於整係數方程的整數解的研究，是當今數學的一個分支，這一分支被稱為丟番圖方程，尋找畢達哥拉斯的三元組就是這樣的一個例子。丟番圖還使用了介於修辭學的和完全的符號代數之間的一種過渡性的代數符號體係。阿拉伯數學家把《算術》翻譯成了阿拉伯語並加以廣泛研究。
花剌子密是阿拉伯最重要的一位數學家，他的名字使人聯想到他出生於中亞的花剌子模，似乎他大部分時間都生活在巴格達。他是新創辦的智慧宮的主要領導人。他的代數論文《移項與化簡的科學》後來對歐洲數學產生了極大的影響。事實上，“代數學”這一術語來自ａｌ－ｊａｂｒ的拉丁語譯音。花剌子密的研究動機，是為了解決貿易、遺產繼承及土地利用等方麵的實際問題。
在代數方麵，《移項與化簡的科學》包括了線性方程和二次方程。
術語“移項”及“化簡”指的是代數變換。他把二次多項式分成６個不同的類型。他不是把二次方程寫成ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０這樣的一般形式，其中ｘ是未知數，ａ、ｂ、ｃ是係數；而且要求方程的所有係數與所有解都為正數。因為正項的和不等於０，因此上述二次方程的一般表達式在他的代數理論下是無意義的。另外，他把方程ａｘ２＋ｂｘ＝ｃ和ａｘ２＋ｃ＝ｂｘ看成是兩個不同類型的方程。
對每種類型的方程，他都給出了方程的代數解法，並且給出了求解過程的幾何證明。在幾何證明中可能使用了歐幾裏得的結果，與巴比倫及印度的方法也有相似之處。代數方法的幾何證明是用文字敘述的：花剌子密並沒有建立符號語言，但是他所展示的代數方法和幾何方法間的相互轉換，似乎與希臘的數學風格有很大的不同。
到了凱拉吉時代，阿拉伯數學家們試圖把代數學從幾何思想中解放出來，並使代數學成為解決算術問題的一般方法。凱拉吉在巴格達創立了一個影響力極大的代數學派，他的主要著作是《發赫裏》（ａｌ—Ｆａｋｈｒｉ），在該書中他給了高次冪及其倒數的定義，給出了求高次冪的積的規則，但未能定義ｘ０＝１。接著他試圖尋找求高次冪的和，或稱多項式的和的方法，並給出了二項式展開定理。他的獨到之處是運用歸納方法給出了二項式展開定理及其展開的係數表。這一係數表今天稱為帕斯卡三角形。雖然他對定理的歸納證明是不完備的，但無論如何它是一個不用幾何的代數方法。
到了歐瑪爾·海亞姆（ＯｍａｒＫｈａｙｙａｍ，１０４８—１１３１）的時代，土耳其人占領了巴格達，並宣布成立一個正統的穆斯林國家。歐瑪爾·海亞姆在沙布爾完成學業後，於１０７０年離開了動蕩不安的沙布爾，來到了比較安寧的撒馬爾罕（Ｓａｍａｒｋａｎｄ，今屬烏茲別克斯坦）。雖然他作為詩人和《魯拜集》（Ｒｕｂａｉｙａｔ）的作者的知名度更高，但他主要是科學家和哲學家。在撒馬爾罕他寫了《代數》一書，其中最新穎的部分是用幾何方法解三次方程。他從阿波羅尼奧斯的翻譯本中學到了關於圓錐曲線的知識，領悟到三次方程的解可以通過兩個圓錐曲線的交點求出。例如形如ｘ３＋ａｘ＝ｃ的方程的解，是適當畫出的一個圓和一條拋物線的交點。他對一部分三次方程和它們的解進行了分類，並給出了把其他三次方程轉換到所分的類中，或者轉換到更簡單的二次方程的代數方法。雖然從代數發展的角度來看，這一做法似乎是一種倒退，但在許多方麵，他都做出了獨特的貢獻。他指出古代沒有留下任何關於三次方程解法的文獻，所以我們斷定他一定是查閱了大量的資料。他還聲稱不能用尺規作圖的方法解三次方程，而這一結論的證明，直到７００年之後才被給出。他第一個察覺到三次方程可能有多個解，但沒有意識到可以有３個解。歐瑪爾·海亞姆承認他的研究是不完全的，並且尋求類似手解二次方程的公式來給出三次方程及更高次方程的一般代數解，這一課題直到意大利文藝複興時期才得以解決。歐瑪爾·海亞姆的解析幾何學是阿拉伯人將代數和幾何融合在一起的產物。直到４００年後，笛卡兒的研究才使解析幾何學得到了進一步的發展。
天文學是阿拉伯數學家們研究的主要對象。阿拉伯三角學的發展，使得阿拉伯數學家們編製出了更加精確的天文表。伊斯蘭教的宗教法規的精確性，客觀上促進了數學的發展。伊斯蘭的曆法基於朔望月，每個月的第一天，從新月後的蛾眉月出現開始。
每天５次的禱告必須在固定時刻進行，禱告的時刻是由太陽的位置決定的。例如，從中午時刻的影長算起，當一個物體的影長增加到該物體自身的高度時，就必須開始進行下午的禱告。而且信徒們必須麵向建於麥加的伊斯蘭寺院內的聖堂進行禱告。關於禱告的次數、時刻和方位的這３個法規，都迫切需要天體和行星及地理學的知識。一開始，他們通過觀測來盡量滿足法規的要求，並使用了從希臘和印度流傳過來的表。阿拉伯人最大限度地改進了這些表和觀測方法。從１３世紀起，清真寺開始雇用能夠熟練使用天體觀測儀、四分儀及日晷的天文學家。
顯然，任何天文學計算上的發展都需要精確的三角表。下麵，我們通過回顧ｓｉｎ１°的求值方法來看一下這些發展。當時已經有了正弦、餘弦和正切的準確定義及兩角和及差的正弦等一係列公式。一般的方法是從槡ｓｉｎ６０°＝３／２及ｓｉｎ３０°＝１／２這樣的值出發，通過幾何計算來精確求值。然後使用半角公式不斷地二等分角度直到得到１°或接近１°角的正弦值。阿布·瓦法（Ａｂｕｌ－Ｗａｆａ，９４０—９９８）從已知的ｓｉｎ６０°的值出發，計算了ｓｉｎ７２°的值，並通過一個適當的公式計算出ｓｉｎ１２°的值。再使用半角公式進一步求出了ｓｉｎ１°３０′及ｓｉｎ４５′的值。因為這兩個角非常接近，ｓｉｎ４５′到ｓｉｎ１°３０′的正弦曲線近似於直線，所以使用算術方法就可以求出ｓｉｎ１°的值。使用這樣的方法，阿布瓦法編製出了每隔１５′的正弦表。在六十進製下，上述表的精確度是小數點後５位，而在十進製下精確度為小數點後８位。
雖然我們已經有了三角表的製表理論，但是在此後的３００年間，三角表的製表技術沒有重大的突破。那時的巴格達被蒙古統治，帝王是兀魯伯（ＵｌｕｇｈＢｅｇ，１３９４—１４４９）。兀魯伯在撒馬爾罕建立了科學中心，卡什（Ａｌ—Ｋａｓｈｉ，１３８０—１４２９）是當時新天文台的第一任台長。他極大限度地改進了三角表的精確度。運用正弦三倍角公式，他建立了一個三次方程，這一方程使他可以通過ｓｉｎ３°的值來求ｓｉｎ１°的值。然後他利用迭代方法計算出ｓｉｎ１°的值。這一值在六十進製下精確到小數點後９位，在十進製下精確到小數點後１６位。利用已建立的關係，他完成了三角表的其餘部分。但這也僅僅是計算技巧的改進。２００年後，開普勒使用了類似的方法。在提高數值精度的同時，阿拉伯人完善了既是觀測儀又是模擬計算器的天體觀測儀。天體觀測儀利用天體來進行測時。當時巴格達之星已經開始走向衰退，蒙古統治者被土耳其人取代，他們的首都和文化中心建立在伊斯坦布爾。