棋盤上的麥粒
據說古印度有個國王非常喜愛下棋，而且棋藝高超，很少輸給別人。於是驕傲的國王就貼出告示：誰能下棋贏了自己，將給予重賞。有一天，一個術士進宮下贏了國王，國王就問他想得到什麼賞賜，術士連忙拜倒回答說：“請您在這張棋盤的第一個格子裏放一粒麥子，在第二個格子裏放２粒麥子，在第三個格子裏放４粒麥子，第四個格子放８粒……依此類推，每一格裏放進比前一格多一倍的麥粒。尊敬的陛下，請您就把棋上６４個格子內應放的麥粒賞賜給我吧！”國王一聽樂得差點笑出聲來，心說這人真傻，竟隻要求這麼幾粒麥子，所以馬上就命令手下拿一小口袋麥粒，照術士說的方式數麥粒給他，還沒有到２０格，一袋麥粒已經空了；一袋又一袋的麥粒扛出來，但是每一格都在成倍增加，國王終於明白，就是把整個王國的麥粒全賞給術士，也還遠遠不夠。真的需要那麼多的麥粒嗎？計算一下就知道了。麥粒總數為：１＋２＋４＋８＋……＋２６３＝１８６４４６７４４０７３７０９５５１６１５粒。
這究竟是多少麥粒呢？按每千粒２００克計算，每噸大約就是５００萬粒。棋盤上全部麥粒加在一起共有３６８９３４８８１４７４２噸，如果建一個高１０米，寬４米的倉庫來裝這些麥粒，那麼這個倉庫的長度就是地球到太陽距離的兩倍多，如果一列火車能裝運１０００噸小麥，就需要３６８９３４８８１５列火車才能運完。一粒麥粒兩粒麥粒雖然很少，但是如果成倍增長，那數字很快會變得很驚人，如果那國王多懂一點數學知識，就不會被術士鑽空子了。
百雞中的數學古時候有一個縣官老爺讓仆人拿著１００文錢到張老漢那兒買１００隻雞，還要剛好花光那１００文錢，不能多也不能少。當時雞的價錢是這樣的，大公雞５文錢一隻，母雞３文錢一隻，小雞則花１文錢就可以買到３隻。張老漢左思右想，也想不出怎麼搭配才能滿足１００文錢１００隻雞的要求，因此愁悶不已。他的兒子說道：“父親，不必發愁，我有辦法。”他讓父親帶去４隻公雞，１８隻母雞和７８隻小雞，張老漢一看，正好值１００文錢。縣官見到張老漢送來了１００隻雞，非常驚訝，知道張老漢必是受人指點，於是又取出１００文錢給張老漢，讓他再拿１００隻雞來，但不許重複，張老漢的兒子這次讓父親送去８隻公雞，１１隻母雞，８１隻小雞，又符合了縣官的要求。縣官大吃一驚，就問張老漢是受誰指點，張老漢據實回答，縣官聽說張老漢有這麼一個聰明孩子，非常欣賞，就對張老漢說：“我再給你１００文錢，要是你兒子還能送１００隻雞來並且與前兩次不重複，我就舉薦他去讀書。”張老漢回家一說，他兒子就不慌不忙地開口了：“父親，您給縣老爺送１２隻公雞，４隻母雞，８４隻小雞去就可以了。”縣官後來也沒有食言，果然把張老漢的兒子推薦去深造。
這是一個不定方程問題，古人不會列不定方程組，那麼，張老漢的兒子究竟用什麼方法計算出這個問題的呢？原來，他發現了一個秘密，４隻公雞值２０文錢，３隻小雞值１文錢，加在一起就是７隻雞值２１文錢，而７隻母雞也恰好值２１文錢。隻要少買７隻母雞，就可以買４隻公雞和３隻小雞，這樣雞數不變，錢也不變，答案卻變了，這就是能夠給出３個答案的原因。“百雞問題”原載於《張邱建算經》，而在西方係統研究不定方程的是古希臘數學家丟番圖，因此西方數學史把不定方程稱為丟番圖方程。
雞兔同籠問題《孫子算經》中有一道很有意思的數學題目：“今有雉（就是雞）兔同籠，上有３５頭，下有９４足，問雉兔各多少？”意思就是說在同一個籠子裏關了雞和兔共３５隻，而這些雞與兔的腳共有９４隻，根據這個條件，要求出雞的數目與兔的數目。如果沒有學過解方程組，運用智慧還是能推算出來的。先假設籠子裏３５隻全是兔子，一隻兔子四隻腳，那麼籠子裏就應該有３５×４＝１４０隻腳，比實際的９４隻多出了４６隻腳。每隻雞的腳要比兔子少兩隻，如果籠子裏有一隻雞，腳就會減少兩隻，現在腳應該少４６隻，所以籠子裏就有４６÷２＝２３隻雞，剩下的就是１２隻兔子。
這種假設的方法在許多問題中都會用到，在數學中也稱方程思想，當然也可以列出方程組求解。民間也流傳著類似的數學謎語：３８隻雞和狗，１００條腿往前走，問有幾隻雞幾條狗？不妨試一試。
裝錯信封有一天伯努裏在聖彼得堡碰到歐拉，向他提出一個問題：
“某人寫了若幹封信，也寫了每封信的信封，等到往信封裏裝信的時候，他把所有的信都裝錯了信封，這樣‘裝錯信封’的方法有多少種？”歐拉答應回去考慮後再回答他。這是組合數學中“錯排問題”，後來歐拉給出一個計算公式。現在來看看它的解法。
設有四封信，標上１、２、３、４四個號，按自然順序設置信封。先用信封１、２錯裝成２、１，隻有１種方法，記為：Ｄ２＝１；因為信封１不可能裝錯，所以：Ｄ１＝０。
再用封信１、２、３錯裝成３、１、２和２、３、１，有２種方法，記為：Ｄ３＝２；這兩種裝運可以這樣得到：先把１、２、３的１、２錯裝成２、１，再把２、１、３中的３與前麵的２互換位置就得到３、１、２，和１互換位置就得出２、３、１。再看四封信全部裝錯的種數Ｄ４。
先把最後一封信４和前麵第一封信１裝錯，剩下的兩封信２、３互相裝錯Ｄ２＝１；依次把４和２裝錯。剩下１、３互相裝錯，又一個Ｄ２＝１；把４和３裝錯，剩下１、２互相裝錯，共有（４－１）×Ｄ２＝３×１＝３種方法。（如下）４、３、２、１３、４、１、２２、１、４、３再把前三封信裝錯有Ｄ３＝２種方法，用４和第一種方法３、１、２的每一封信互相換裝得：
３、１、２、４→４、１、２、３３、１、２、４→３、４、２、１３、１、２、４→３、１、４、２（４－１）＝３種方法。
用４和第２種方法２、３、１的每一封信換裝又得：
２、３、１、４→４、３、１、２２、３、１、４→２、４、１、３２、３、１、４→２、３、４、１（４－１）＝３種方法。
共（４－１）·Ｄ３＝３×２＝６種方法。所以四封信全部裝錯共有：
（４－１）Ｄ２＋（４－１）Ｄ３＝３＋６＝９種方法。
這樣推下去，可以得出一個遞推公式：ｎ封信全部裝錯信封的方法有：Ｄｎ＝（ｎ－１）（Ｄｎ－１＋Ｄｎ－２）種。（Ｄ１＝０，Ｄ２＝１。）從中可以得到一個重要啟示：從具體到抽象，從個別到一般是發現規律的普遍方法。
難拿的箱子美國物理學家紐科姆曾提出一個悖論：“難拿的箱子。”有一天，一個宇宙人乘飛碟來到了地球上的一個小村子裏。宇宙人說，他能非常準確地預言每一個村民在兩種選擇中會選擇哪一個。於是許多村民前來驗證他的說法。宇宙人用兩個箱子來檢驗前來的村民。其中箱子甲總是透明的，裏麵裝著１００個金光閃閃的金幣，而箱子乙則看不到裏麵裝的東西，可能空著，什麼也沒裝，但也有可能裝著比１００個多得多的金幣。宇宙人告訴每個試驗者，有兩種方法可以選擇：一種是拿走所有的箱子，但是當宇宙人預計受試者這樣做時，他會將箱子乙變空；另一種選擇是隻拿箱子乙，如果宇宙人預測到應試者會這樣做時，他會將箱子乙中變滿１０００個金幣。宇宙人說完就走了。
一個小男孩決定隻拿箱子乙，他的理由是，他已看到宇宙人預測的幾次都沒出錯，所以他決定隻拿箱子乙，宇宙人當然也不會預測錯，因此他可以得到１０００個金幣。一個小女孩則決定拿兩個箱子，她認為宇宙人已經完成了自己的預言，並且走了，因此箱子不會再變。所以她拿兩個箱子當然比一個箱子劃算。那麼這兩種看法到底哪一個正確呢？至今人們仍在尋求答案。地圖四色引發的思考１８５２年英國人弗南西斯·格思裏在為地圖著色時，發現了一個有趣的現象：每幅地圖隻用四種顏色著色，就可以使有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？格思裏和弟弟為證明這一問題用去了大堆的稿紙而沒有結果；他們向數學家德·摩爾根請教，摩爾根也沒有找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、數學家漢密爾頓爵士請教。漢密爾頓對這一問題進行長達１０年的論證，直到去世也沒有能解決問題。１８７２年英國數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了全世界數學界廣泛關注的問題。許多一流數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。
這個問題直到電子計算機的出現，才為解決這個數學難題提供了有力的工具。１９７６年美國的阿佩爾和哈肯發表了借助電子計算機做出的肯定四色猜想的證明，費機時１２００小時，作了１００億個邏輯判斷。他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特製郵戳以示慶賀。
“四色問題”的被證明不僅解決了一個曆時１００多年的難題，而且成為數學史上一係列新思維的起點，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。“四色問題”在有效地編製航空班機日程表，設計計算機的編碼程序上都起到了推動作用。趣話軍訓排隊１９３４年秋天，當時日寇壓境，政局混亂，北京各大專學校都設有軍事訓練一課，教官由軍事委員會北平會委派。男生一律戎裝，製服分冬夏兩套。冬天為藏青色粗毛呢中山裝，學生帽；夏天，淺棕色卡嘰布，上身西式開領，係黑領帶，褲子下半一排紐扣束腿，一如獵裝。經常在大門外網球場上操練。每逢持槍上肩，喊“一、二、三、四！”邊喊邊走，精神上頗有威武之感。
所學項目，不外乎立正、稍息、左右轉彎、齊步、跑步之類。教官都是黃埔軍人裝扮，著後跟帶刺的馬靴，腰佩短劍，尉官軍銜。他們平日和同學嘻嘻哈哈，在女同學麵前更是分外溫和。而一旦出現在操場上，居然一派軍人氣概。
１９３５年，還在德勝門外黃寺大操場上，集合全北京的大專軍訓學生舉行閱兵典禮。軍樂聲中，分列行進，很有點備戰的氣氛。
１９３７年暑假，大專學生集訓於西苑兵營。領了武器，剃了光頭，穿上灰色軍衣，陣容、裝備、課目、要求儼然是正式軍旅了。時隔不久，盧溝橋一聲炮響，學生們都各奔前程了。