8化圓為方問題
古希臘數學家苛刻地限製幾何作圖工具，規定畫幾何圖形時，隻準許使用直尺和圓規，於是，從一些本來很簡單的幾何作圖題中，產生了一批著名的數學難題。除了前麵講過的三等分角問題和立方倍積問題之外，還有一個舉世聞名的幾何作圖難題，叫做化圓為方問題。
據說，最先研究這個問題的人，是一個叫安拉克薩哥拉的古希臘學者。
安拉克薩哥拉生活在公元前5世紀，對數學和哲學都有一定的貢獻。有一次，他對別人說：“太陽並不是一尊神，而是一個像希臘那樣大的火球。”結果被他的仇人抓住把柄，說他褻讀神靈，給抓進了牢房。
為了打發寂寞無聊的鐵窗生涯，安拉克薩哥拉專心致誌地思考過這樣一個數學問題：怎樣作出一個正方形，才能使它的麵積與某個已知圓的麵積相等？這就是化圓為方問題。
當然，安拉克薩哥拉沒能解決這個問題。但他也不必為此感到羞愧，因為在他以後的2400多年裏，許許多多比他更加優秀的數學家，也都未能解決這個問題。
有人說，在西方數學史上，幾乎每一個稱得上是數學家的人，都曾被化圓為方問題所吸引過。幾乎在每一年裏，都有數學家欣喜若狂地宣稱：我解決了化圓為方問題！可是不久，人們就發現，在他們的作圖過程中，不是在這裏就是在那裏有著一點小小的，但卻是無法改正的錯誤，隨之爆發出一陣陣善意的笑聲。
化圓為方問題看上去這樣容易，卻使那麼多的數學家都束手無策，真是不可思議！
年複一年，有關化圓為方的論文雪片似地飛向各國的科學院，多得叫科學家們無法審讀。1775年，法國巴黎科學院還專門召開了一次會議，討論這些論文給科學院正常工作造成的“麻煩”，會議通過了一項決議，決定不再審讀有關化圓為方問題的論文。
然而，審讀也罷，不審讀也罷，化圓為方問題以其特有的魅力，依舊吸引著成千上萬的人。它不僅吸引了眾多的數學家，也讓眾多的數學愛好者為之神魂顛倒。15世紀時，連歐洲最著名的藝術大師達·芬奇，也曾拿起直尺與圓規，嚐試解答過這個問題。
達·芬奇的作圖方法很有趣。他首先動手做一個圓柱體，讓這個圓柱體的高恰好等於底麵圓半徑r的一半，底麵那個圓的麵積是πr2。然後，達·芬奇將這個圓柱體在紙上滾動一周，在紙上得到一個矩形，這個矩形的長是2πr，寬是r／2，麵積是πr2，正好等於圓柱底麵圓的麵積。
經過上麵這一步，達·芬奇已經將圓“化”為一個矩形，接下來，隻要再將這個矩形改畫成一個與它麵積相等的正方形，就可以達到“化圓為方”的目的。
達·芬奇解決了化圓為方問題嗎？沒有，因為他除了使用直尺和圓規之外，還讓一個圓柱體在紙上滾來滾去。在尺規作圖法中，這顯然是一個不能容許的“犯規”動作。
與其他的兩個幾何作圖難題一樣，化圓為方問題也不能由尺規作圖法完成。這個結論是德國數學家林德曼於1882年宣布的。
林德曼是怎樣得出這樣一個結論的呢？說起來，還與大家熟悉的圓周率π有關呢。
假設已知圓的半徑為r，它的麵積就是πr2；如果要作的那個正方形邊長是X，它的麵積就是X2。要使這兩個圖形的麵積相等，必須有。
X2＝πr2
即X＝πr。
於是，能不能化圓為方，就歸結為能不能用尺規作出一條像πr那樣長的線段來。
數學家們已經證明：如果π是一個有理數，像πr這樣長的線段肯定能由尺規作圖法畫出來；如果π是一個“超越數”，那麼，這樣的線段就肯定不能由尺規作圖法畫出來。
林德曼的偉大功績，恰恰就在於他最先證明了π是一個超越數，從而最先確認了化圓為方問題是不能由尺規作圖法解決的。
三大幾何作圖難題讓人類苦苦思索了2000多年，研究這些數學難題有什麼意義呢？
有人說，如果把數學比作是一塊瓜田，那麼，一個數學難題，就像是瓜葉下偶爾顯露出來的一節瓜藤，它的周圍都被瓜葉遮蓋了，不知道還有多長的藤，也不知道還有多少顆瓜。但是，抓住了這節瓜藤，就有可能拽出更長的藤，拽出一連串的數學成果來。
數學難題的本身，往往並沒有什麼了不起。但是，要想解決它，就必須發明更普遍、更強有力的數學方法來，於是推動著人們去尋覓新的數學手段。例如，通過深入研究三大幾何作圖難題，開創了對圓錐曲線的研究，發現了尺規作圖的判別準則，後來又有代數數和群論的方程論若幹部分的發展，這些，都對數學發展產生了巨大的影響。