26加法速算法
在一個數學俱樂部的遊藝牌上寫著這樣一道題：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝？你能很快地答出來嗎？
有的人老老實實地加起來，當然也得到了結果，但是這不符合要求啊。那麼，怎樣來速算呢？
先看看下麵的例子：
1＋2＋1＝4＝22
1＋2＋3＋2＋1＝9＝32
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25＝52
1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36＝62
……
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝81＝92
……
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝169＝132
……
不用多寫了，你就可以發現，凡是從1加到某一個數(即n)，再返過來加到1，結果都等於到頭那個數(n)的平方。如果你記住了這個有趣的關係，那麼，對於任意的這樣相加法，都可以很快答上來了。我們不是談到過大數學家高斯的故事嗎?老師出了從1加到100等於多少的題目，小高斯很快答出來是5050。如果把這個題目再變得難一點，問從1加到100，再加回到1，一共是多少?你也很容易知道這一定是1002＝10000了。
27為什麼2n個小球能移為一堆
有2n個小球，分成許多堆，隨意選定其中的甲、乙兩堆，若甲堆的球數不超過乙堆的球數，便從乙堆中取出等於甲數目的小球放入甲堆，這樣算做一次“移動”。那麼經過有限次的移動，能否把這2n個小球並為一堆呢?
解決本題需要掌握初等數學中的一個重要解題方法——數學歸納法。因為小球的數目，雖有規律如可能是2，4，8，16……等，但畢竟不能以其中的任一個確定的數為解題出發點，因而解題的方法相應的也要抽象一些。
數學歸納法的證題思路是：要證明一個結論首先驗證在所有的n可以取的值中選一個最小的值(如n＝1或n＝2等)，結論是正確的。第二步是，假設n取任一個自然數K時結論正確，再證明n取K＋1時結論也正確。兩步結合起來，一個是基礎，一個是傳遞，我們就可以從n＝1時結論正確推到n＝2結論正確，再推到n＝3時結論正確……即對於任意自然數n，結論都正確。
回到我們的問題，結論是肯定的，當n＝1時有2個小球，最多分兩堆。每堆一個小球，那麼一次“移動”就並為了一堆。假定有2K個小球分成若幹堆，經過有限次“移動”能並為一堆。那麼把2K＋1個小球分成若幹堆時，情形又如何呢?因為2K＋1是偶數，所以小球個數是奇數的堆有偶數個，把他們兩兩匹配，每兩堆間“移動”一次，這樣各堆小球的數目就都是偶數了，設想每堆中都把兩個小球貼在一起，移動也好不移動也好都當一個小球看待，那麼總數不就是2n個了嗎!總起來說就是，隻要2K個小球可並為一堆，那麼2K＋1個小球就能並為一堆。這樣就從21個結論成立，推到22個結論成立，再推到23個結論成立，當然對任意自然數n，結論都是成立的。