第十二章
《洞方術圖解》中的Δpnp表Δ0Δ1Δ2Δ3Δ4Δ5Δ6……n01n111n2132n317126n4115506024n5131180390360120n6163602210033602520720其中Δknp=kΔk-1np-1+(k+1)Δknp-1。
因此知道np-1的逐次差數以後，np的逐次差數就可以依據上式計算出來。
因np＝1+Cn-11Δnp+C(n+1)2Δ2np+……+Cn-1pΔpnp
將p＝1，2……所得的各數代入(*)，就可分別算得Δ0Δsinna，Δ1sinna，Δ2sinna，……從而也就可以用加減法算出正弦表中相應的數值。
《致曲術》是一篇很有創新價值的論文，文中夏鸞翔推廣了戴煦的橢圓求周術和李善蘭的尖錐求積術，研究二次曲線，並解決了不少橢圓積分的問題，例如，他利用級數S=x+123!a2x3+12·325!a4x5+12·32·527!a6x7+……
-c2(12·3x33a4+12·2·5x55a6+1·32·2·4·7x77a8+……)
-c4(12·4·5x55a8+12·4·2·7x7a10+……)
-c6(12·4·6·7x7a12+……)求橢圓x2a2+y2b2＝1從點(0，b)到點(x，y)一段曲線的長。這相當於利用橢圓積分s=∫x0a4-c2x2aa2-x2dx=∫x01-c2x2a41-x2a2dx的級數展開式求橢圓弧長。
此外，夏鸞翔又創立了利用級數計算橢圓弧繞其軸旋轉所成曲麵麵積的方法，其中橢圓x2a2+y2b2＝1從點(0，b)到點(x，y)那段弧繞長軸旋轉所成麵麵積為：A=2πb∫x0(1-c2x2a2)dx
=2πb(x-c2·x33!a4-1·3·c4·x55!a8-1·32·5c6·x77!a12……)而繞短軸旋轉所成曲麵的麵積是：
A=2πa∫y01+c2y2b4)dy
=2πa(y+c2·y33!b4-3c4y55!b8+325c6y77!b12……)
《致曲術》還解決了一些對數曲線、拋物線和螺線的計算問題。
《致圓曲線》是夏鸞翔對圓錐曲線綜合研究的成果。通過對平麵截圓錐所得的圓錐曲線的分析，揭示了“拋物線之麵為橢圓之極”，與“雙曲線之麵為橢圓之反”的結論，在一之定程度上表達了圓錐曲線的連續性原理。利用這個原理夏鸞翔對不同圓錐曲線的性質進行了類比推測，得出了不少正確的結果，但由於缺乏論證，有些結果就難免有些膚淺和不嚴密。所以，錢寶琮先生評論說，“他的《致曲圖解》是一項瑕瑜互見的著作”。