第二章8
53國王賞不起的米
古印度有個國王，非常愛玩，有一次下令在全國張貼招賢榜：如果誰能替國王找到奇妙的遊戲，將給予重賞。
一個術士揭了招賢榜。他發明了一種棋，使國王玩得舍不得放手。國王高興地問術士道：“你對本王的賞賜要求些什麼？”術士趕忙拜倒：“大王陛下在上，小小術士沒有特殊的要求，隻請大王在那棋盤的第一個格子裏放下一粒米，在第二個格子裏放下兩粒米，在第三個格子裏放下4粒米，然後在以後的每一個格子裏都放進比前一個格子多一倍的米，64個格子放滿了，也就是我要求的獎賞了。”國王一聽，這點米算什麼，就一口答應了。可是，當找來算師一五一十地算了以後，使國王大吃一驚，原來這些米可以覆蓋全地球，全世界要幾百年才能生產出來，根本無法賞給這位術士。
為什麼這個棋盤裏的米會有這麼多呢？
讓我們算一算看：
第一個格子裏是1粒，第二個格子裏是2粒，一共有3粒，或者，等於：
2×2－1＝3。
加上第三個格子的4粒，一共是7粒，即
2×2×2－1＝7
再加上第四個格子的8粒，共有15粒，即
2×2×2×2－1＝15。
也等於：
24－1＝15
所以，從第一格到第四格的米粒數就等於2的4次乘方減去1。那麼，從第1格到第64格的米粒數，將等於2的64次乘方減去1，即：
2×2×2……×2－1＝264－1
64次
＝18446744073709551615。
為什麼這個數字會這麼驚人呢？原來這個術士聰明地運用了數學上的幾何級數，那是把2作為基本倍數，棋盤上的格數作為這個基本倍數的乘方，即2的n次方。棋盤上一共有64格，n就等於64，但是要減去第一格上那一粒米的數值，即264－1；然後再除以基本倍數減去第一格上數值的差，即2－1。這樣，
2n－12－1＝264－11＝264－1。
看來，一粒米、兩粒米這個數目很小，算不得什麼，可是，用幾何級數一算，卻成為一個不可想象的巨大數字。愚蠢的國王怎能領會幾何級數的奧妙呢。
54墓碑上的數學
丟番圖是古代希臘著名的數學家，關於他的年齡在任何書上都沒有明確的記載，可是，在他的墓碑上卻刻下了關於他的生平資料。如果依據墓碑上提供的生平資料，用數學方法去解答，就能算出數學家丟番圖的年齡，這就是人們所說的“墓碑上的數學”。