大約在畢達哥拉斯之後150多年，古希臘數學家歐多克斯深入研究了上述“奇妙分割”。歐多克斯是柏拉圖的學生，對天文、幾何、醫學和法律等方麵都做出不少貢獻。在數學方麵，他最大的功勞是，創立了比例論。歐幾裏得《幾何原本》第五卷《比例論》大部分是引用了歐多克斯的成果。歐多克斯的比例論完全排除了畢達哥拉斯的限製，把可公度線段的比與不公度線段的比都包括在內。他從比例論的角度研究畢氏學派的“奇妙分割”，並把這樣分割中較短線段與較長線段之比叫做“中外比”。因為點P將AB分成兩部分，其中較長部分是全線段與較短部分的比例中項。歐多克斯發現這種線段之間的中外比例關係存在於許多圖形中。最有趣的是，五星圖中的每一條線段，都跟比它稍長的那條線段形成“中外比”。歐多克斯避免把無理數當作數，他不用數表達比。對於線段長度、角的大小及其他的量和量的比，都避免給予數值。因此，他沒有給出“中外比”的數值。
文藝複興時期的歐洲，由於繪畫藝術的發展，促進了對“奇妙分割”的研究。當時，出現了好幾位身兼幾何學家的畫家，著名的有帕奇歐裏、丟勒、達·芬奇等人。他們把幾何學上圖形的定量分析用到一般的繪畫藝術，從而給繪畫藝術確立了科學的理論基礎。
1525年丟勒製定了一種繪圖的比例法則，其間揭示了中外比在繪畫中的重要地位。丟勒認為，在所有矩形中，短邊與長邊滿足中外比的矩形最美觀。因為這樣的矩形，“以短邊為邊，在這個矩形中分出一個正方形後，餘下的矩形與原來的矩形相似，仍是一個服從中外比的矩形”，這使人們產生一種“和諧”的感覺。帕奇歐裏首先把“中外比”稱為“神聖比例”。並在1509年出版的《神聖比例》一書中論述了它，中外比被披上了神秘的外衣。後來達·芬奇把欣賞的重點轉到使線段構成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黃金分割”這一名稱。
黃金分割中的分點叫做“黃金分割點”。“中外比”又叫“黃金比”，從古希臘直到現在都有人認為這種比例在造型藝術中有美學價值。如工藝美術或日用品的長和寬的設計中常用這比例，舞台上的報幕員站在舞台寬度的黃金分割點的位置時最美觀、最佳；古代的不少建築物，其高與寬的比也是黃金比。在中世紀，黃金比被作為美的信條而統治著當時歐洲的建築和藝術。
自從無理數被確認後，人們有可能給出黃金比的數值。
設AB=l,AP=a,則PB=l-a
∵ABAP=APPB，∴la=al-a
∴a3+al-l2=0
∴a=5-12l(考慮到a＜l)
可見黃金比APAB=PBAP=5-12。人們把這個數5-12叫做“黃金數”。前麵我們已經看到黃金數與斐波那契數有關，它還與優選法有關。優選法中普遍常用的方法是0618法，所謂0618就是黃金5-12的近似值，因此，0618法也稱為黃金分割法。
現代醫學研究還表明，黃金比對人們自我保健有重要作用：人生存的最佳氣溫約23℃，它恰巧是正常體溫(37℃)的0618倍；吃飯最好隻吃六、七成飽；攝入的飲食最好是“六分粗，四分精”；運動與靜養的比例關係最好是“四分動，六分靜”。
85拓撲學是如何發現的
哥尼斯堡有一條河，叫勒格爾河。這條河上，共建有七座橋。河有兩條支流，一條叫新河，一條叫舊河，它們在城中心彙合。在合流的地方，中間有一個小島，它是哥尼斯堡的商業中心。
哥尼斯堡的居民經常到河邊散步，或去島上買東西。有人提出了一個問題：一個人能否一次走遍所有的七座橋，每座隻通過一次，最後仍回到出發點?
如果對七座橋沿任何可能的路線都走一下的話，共有5040種走法。這5040種走法中是否存在著一條既都走遍又不重複的路線呢?這個問題誰也回答不了。這就是著名的“七橋問題”。
這個問題引起了著名數學家歐拉的興趣。他對哥尼斯堡的七橋問題，用數學方法進行了研究。1736年歐拉把研究結果送交彼得堡科學院。這份研究報告的開頭是這樣說的：
“幾何學中，除了早在古代就已經仔細研究過的關於量和量的測量方法那一部分之外，萊布尼茲首先提到了幾何學的另一個分支，他稱之為‘位置幾何學’。幾何學的這一部分僅僅是研究圖形各個部分相互位置的規則，而不考慮其尺寸大小”。
從歐拉這段話可以看出，他考慮七橋問題的方法是，隻考慮圖形各個部分相互位置有什麼規律，而各個部分的尺寸不去考慮。
歐拉研究的結論是：不存在這樣一條路線!他是怎樣解決這個問題的呢?按照位置幾何學的方法，首先他把被河流隔開的小島和三塊陸地看成為A、B、C、D四個點；把每座橋都看成為一條線，這樣一來，七橋問題就抽象為由四個點和七條線組成的幾何圖形了，這樣的幾何圖形數學上叫做網絡。於是，“一個人能否無重複的一次走遍七座橋，最後回到起點?”就變成為“從四個點中某一個點出發，能否一筆把這個網絡畫出來?”歐拉把問題又進一步深化，他發現一個網絡能不能一筆畫出來，關鍵在於這些點的性質。
如果從一點引出來的線是奇數條，就把這個點叫奇點；如果從一點引出來的線是偶數條，就把這個點叫做偶點。如左圖中的M就是奇點，N就是偶點。
歐拉發現，隻有一個奇點的網絡是不存在的，無論哪一個網絡，奇點的總數必定為偶數。對於A、B、C、D四個點來說，每一個點都應該有一條來路，離開該點還要有一條去路。由於不許重複走，所以來路和去路是不同的兩條線。如果起點和終點不是同一個點的話，那麼，起點是有去路沒有回路，終點是有來路而沒有去路。因此，除起點和終點是奇點外，其他中間點都應該是偶點。
另外，如果起點和終點是同一個點，這時，網絡中所有的點要都是偶點才行。
歐拉分析了以上情況，得出如下規律：
一個網絡如果能一筆畫出來，那麼該網絡奇點的個數或者是2或者是0，除此以外都畫不出來。
由於七橋問題中的A、B、C、D四個點都是奇點，按歐拉的理論是無法一筆畫出來的，也就是說一個人無法沒有重複地走遍七座橋。
上圖中(1)、(2)、(3)都可以一筆畫出來，但是(4)中的奇點個數為4，無法一筆畫出。
如果圖中沒有奇點如圖(1)和(2)，可以從任何一點著手畫起，最後都回到起點，如果圖中有兩個奇點，如圖(3)，必須從一個奇點開始畫，到另一個奇點結束。
歐拉對哥尼斯堡七橋的研究，開創了數學上一個新分支——拓撲學的先聲。
86分形幾何是如何發現的
生活在北方的同學對雪花是不陌生的，那晶瑩剔透的雪花曾引起無數詩人的讚歎。但若問起雪花的形狀是怎樣的，能回答上來的同學不一定很多。也許有人會說，雪花是六角形的，這既對，但又不完全對。雪花到底是什麼形狀呢?1904年瑞典數學家科赫講述了一種描述雪花的方法。
先畫一個等邊三角形，把邊長為原來三角形邊長的三分之一的小等邊三角形選放在原來三角形的三條邊上，由此得到一個六角星；再將這個六角星的每個角上的小等邊三角形按上述同樣方法變成一個小六角星……如此一直進行下去，就得到了雪花的形狀。
從上麵的描述過程我們可以看出：原來雪花的每一部分經過放大都可以與它的整體一模一樣，小小的雪花竟然有這麼多學問。現在已經有了一個專門的數學學科來研究像雪花這樣的圖形，這就是20世紀70年代由美國計算機專家曼德布羅特創立的分形幾何。所謂分形幾何就是研究不規則曲線的幾何學。目前分形幾何已經在很多領域得到了應用。
87射影幾何是如何發現的
射影幾何具有悠久的發展曆史。古希臘時代的數學家歐幾裏得和阿波羅尼奧斯就都有一些屬於射影幾何的發現。到17世紀，法國數學家德紮格和帕斯卡始創射影幾何。1639年，德紮格通過對透視的研究，建立了無窮遠點和射影空間的概念。1640年，年僅17歲的帕斯卡發現了著名的帕斯卡定理，從此產生了一個優美的數學學科——射影幾何，並在19世紀得到很大發展。射影幾何主要包含3個基本定理，即帕斯卡定理、德紮格定理和帕普斯定理。
帕斯卡定理：設ABCDEF是⊙O的內接六邊形。對邊AB和DE交於點X，對邊BC和EF交於點，對邊CD和AF交於點Z，則X、Y和Z在一條直線上。
德紮格定理：設△ABC和△A′B′C′的對應頂點連線AA′、BB′和CC′交於一點，則三組對應邊的交點在同一條直線上。
帕普斯定理：設A、C、E是一條直線上的三個點，B、D、F是另一條直線上的三個點。如果直線AB、CD、EF分別與DE、FA、BC相交，則三個交點L、M、N共線。