第五部分
中國古代的數學、天文著作《周髀算經》，采用周公與商高對話的形式，對戰國以前的數學成就作了很好的科學總結。其中的《勾股章》裏，周公問商高古代伏羲是如何確定天球的度數的?天是不能用梯子攀登的，也無法用尺子衡量，數是從哪裏得來的呢?商高回答：數的藝術是從研究圓形和方形開始的，圓形是由方形產生的，而方形又是同折成直解的矩尺產生的。在研究矩形前需要知道九九口訣，設想把一個矩形沿對解線切開，把勾和股分別自乘，然後把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。
商高即說當直角三角形的兩條直角邊分別為3(短邊)和4(長邊)時，徑隅(就是弦)則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。由於勾股定理的內容最早見於商高的話中，所以人們就把這個定理叫作“商高定理”。也即是“勾股定理”。
《周髀算經》中國古代的數學家們不僅很早就發現並應用勾股定理，而且很早就嚐試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創製了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。他用幾何圖形的截、割、拚、補來證明代數式之間的恒等關係，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。
這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”。為什麼一個定理有這麼多名稱呢?畢達哥拉斯是古希臘數學家，他是公元前5世紀的人，比商高晚出生500多年。希臘另一位數學家歐幾裏德在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”，以後就流傳開了。最早提出剩餘定理的人
《孫子算經》約成書於四、五世紀，作者生平和編寫年代都不清楚。現在傳本的《孫子算經》共三卷。卷上敘述算籌記數的縱橫相間製度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分數算法和籌算開平方法。卷下第31題，可謂是後世“雞兔同籠”題的始祖，後來傳到日本，變成“鶴龜算”。
《孫子算經》具有重大意義的是卷下第26題，載有“物不知數”問題，在世界上最早提出了剩餘定理：“今有物不知其數，三三數之剩五，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?”意思是，有一批對象，不知道它的數目，3個3個地數最後剩2個，5個5個地數最後剩3個，7個7個地數最後剩2個，問這批物件一共是多少?顯然，這相當於求不定方程組：N=3x+2，N=5y+3，N=7z+2，它的正整數解N，或用現代數論符號表示，等價於解一次同餘組。可是，《孫子算經》沒有采取簡單的方法試算，而是指出了科學的剩餘計算方法：三三數之，取數70，與餘數二相乘；五五數之，取數21，與餘數三相乘；七七數之，取數15，與餘數二相乘。將諸乘積相加，然後減去105的倍數。列成算式就是：N=70×2+21×3+15×2－2×105，答案是N=23。
孫子算法的關鍵，在於70、21、15這三個數的確定。明代《算法統宗》中的“孫子歌”(三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百令五便得知)中也暗指了這三個關鍵的數字。《孫子算經》雖然沒有說明這三個數的來曆，但其列出的式子完全符合現代數論中著名的剩餘定理的計算。