27=14+128
297=156+1679+1776
而通過這種表示法可以進行任何分數運算：如：
521=121+221+221
=121+114+142+114+142
=121+214+242
=121+17+121
=17+221=17+114+142
巴比倫人也使用六十進位的分數，即分母是60、602、603的分數。在很長一段時間內，歐洲人將分數運算視為畏途。
中國是世界上較早對一般分數進行研究的國家。公元前5世紀的《考工記》中，就有“十分之寸之一為一枚”的記載，即110寸等於一分。西漢時期《周髀算經》中，已經有了更複雜的分數運算。公元1世紀（東漢時期）的數學家專著《九章算術》中，專列“方田”一章，介紹通分、約分、比較分數大小的方法，以及有關加、減、乘、除運算的法則。這些知識與現代采用的方法基本相同，比印度領先500多年，比歐洲早1400多年。
負數的引入
今天人們都能用正負數來表示相反方向的兩種量。例如若以海平麵為0點，世界上最高的珠穆朗瑪峰的高度為+8848米，世界上最深的馬裏亞納海溝深為-11034米。在日常生活中，則用“+”表示收入，“-”表示支出。可是在曆史上，負數的引入卻經曆了漫長而曲折的道路。
古代人在實踐活動中遇到了一些問題：如相互間借用東西，對借出方和借入方來說，同一樣的東西具有不同的意義。分配物品時，有時暫時不夠，就要欠某個成員一定數量。再如從一個地方，兩個騎者同時向相反的方向奔馳，離開出發點的距離即使相同，但兩者又有不同的意義。久而久之，古代人意識到僅用數量來表示一事物是不全麵的，似乎還應加上表示方向的符號。為了表示具有相反方向的量和解決被減數小於減數等問題，逐漸產生了負數。
中國是世界上最早認識和應用負數的國家。早在兩千年前的《九章算術》中，就有了以賣出糧食的數目為正（可收錢），買入糧食的數目為負（要付錢）；以入倉為正、出倉為負的思想。這些思想，西方要遲於中國八九百年才出現。
小熊威克多摘梨
豐收的秋天又到了，小熊威克多、小狗史努比、小貓樂米樂決定到果園去幫果農伯伯摘水果。它們被分配去摘梨。
小熊威克多和小狗史努比共摘梨330千克；小狗史努比和小貓樂米樂共摘梨300千克；小貓樂米樂和小熊威克多共摘梨270千克。它們一摘完梨就計算各自摘了多少梨來。
小貓樂米樂比它的夥伴聰明一些，一下子就把它們各自所摘重量算了出來。
你能算出來嗎？
［答案：小熊威克多是150千克，小狗史努比是180千克，小貓樂米樂是120千克。］
閉眼抓果凍
你有一桶果凍，其中有黃色，綠色，紅色三種，閉上眼睛，抓取兩個同種顏色的果凍。抓取多少次就可以確定你肯定有兩個同一顏色的果凍？
［答案：4次。
方法：因為隻有3種顏色的果凍，要是想成雙就要抓兩次，1次大家都知道是不可呢的，又不允許用刀切成兩半，所以呢就要抓兩次。當是抓兩次中的機會非常渺茫，要麼一次抓紅，另一次抓黃；或要麼一次抓綠一次抓紅，很少會剛好抓到同一顏色，所以我們要擴大範圍比如抓3次。不過3次機會是大一點，但也有可能剛好不走運抓到紅、黃、綠這三種顏色果凍，所以我們要在擴大範圍比如4次，我們以知道如果不走運就會抓到紅、黃、綠這三種顏色這樣就會減少3次機會，不過還有1次我們可一在桶裏的紅黃綠三種顏色中抓一個果凍，不管是抓其中哪一種我們都可以和那種配成雙，所以答案是4次。同學們你想到了嗎？］
無理數的風波
無理數就是不能表示為整數或兩整數之比的實數，如2、π等等。這些數不像自然數或負數那樣，可在實際生活中直接碰到，它是在數學計算中間接發現的。
人們發現的第一個無理數是2。據說，它的發現還曾掀起一場巨大的風波。古希臘畢達哥拉斯學派是一個研究數學、科學、哲學的團體，他們認為一切數都是整數或者整數之比。有一個名叫希帕索斯的學生，在研究1和2的比例中項時（如果1∶x=x∶2那麼x為1和2的比例中項），左思右想都想不出這個中項值。後來，他畫一邊長為1的正方形，設對角線為x，於是x2=12+12=2。他想，x代表正方形對角線長，而x2=2。他想，那麼x必定不能是整數，那麼x會不會是分數呢？畢達哥拉斯和他的學生們絞盡腦汁也找不到這個數。
這樣，如果x既不是整數又不是分數，它是什麼樣的數呢？希帕索斯等人認為這必定是一個新數。這一發現，使得畢達哥拉斯等學派的觀點動搖了，從而導致了西方數學史上的第一次“數學危機”。而希帕索斯本人因違背了畢達哥拉斯學派的觀點而受到處罰，被扔到大海裏淹死了。
無理數的發現，使數的概念又擴大了一步。
神秘的9
愛因斯坦出生在1879年3月14日。把這些數字連在一起，就成了1879314。重新排列這些數字，任意構成一個不同的數（例如3714819），在這兩個數中，用大的減去小的（在這個例子中就是3714819－1879314=1835505），得到一個差數。把差數的各個數字加起來，如果是二位數，就再把它的兩個數字加起來，最後的結果是9（即1+8+3+5+5+0+5=27，2+7=9）。
哥白尼的生日是1473年2月19日，牛頓的生日是1642年12月25日，高斯出生於1777年4月30日，居裏夫人出生於1867年11月7日，隻要按照上麵的方法去計算，最後一定都得到9。實際上，把任何人的生日寫出來，做同樣的計算，最後得到的都是9。
把一個大數的各位數字相加得到一個和，再把這個和的各位數字相加又得到一個和；這樣繼續下去，直到最後的數字之和是個一位數為止。最後這個數稱為最初的那個數的“數字根”。這個數字根等於原數除以9的餘數。這個計算過程，常常稱為“棄九法”。
求一個數的數字根，最快的方法是在加原數的數字時把9舍去。例如求385916的數字根，其中有9，而且3+6，8+1都是9，就可以舍去，最後隻剩下5，就是原數的數字根。
利用棄九法，可以檢驗很大數目的加減乘除的結果。例如a-b=c，為了檢驗結果c，用a的數字根減去b的數字根（如果前者較小就加上9），看看差數是否對得上c的數字根。如果對不上，那麼前麵的結果肯定是算錯了；如果對上了，那麼計算正確的可能性是89。
由這些知識可以解釋生日算法的奧秘。假定一個數n由很多數字組成，把n的各個數字打亂重排，就得到一個新的數n′，顯然n和n′有相同的數字根，把兩個數根相減就會得0。也就是說，n－n′一定是9的倍數，它的數字根是0或9。而在我們的算法中0和9本是一回事（即一個數除以9所得的餘數）。n－n′=0，隻有在n=n′即原數實際上沒有改變時才發生；隻要n≠n′，n－n′累次求數字所得的結果就一定是9。
稀少而有趣的完美數
已知自然數a和b，如果b能夠整除a就是說b是a的一個因數，也稱為約數。顯然，任何自然數a，總有因數1和a。我們把小於a的因數叫做a的真因數。
例如：6，12，14這三個數的所有真因數：
6：1，2，3；1+2+3=6
12：1，2，3，4，6；1+2+3+4+6=1612
14：1，2，7；1+2+7=1014
像12這樣小於它的真因數之和的叫做虧數（不足數）；大於真因數之和的（如14）叫做盈數或過剩數；恰好相等的（如6）叫做完全數，也稱為完美數。
古希臘人非常重視完全數。大約在公元100年，尼可馬修斯寫了第一本專門研究數論的書《算術入門》，其中寫道：“也許是這樣：正如美的、卓絕的東西是罕見的，是容易計數的，而醜的、壞的東西卻滋蔓不已；所有盈數和虧數非常之多，而且紊亂無章，它們的發現也毫無係統。但是完全數則易於計數，而且又順理成章……它們具有一致的特性：尾數是6或8，而且永遠是偶數。”
現在數學家已發現，完全數非常稀少，至今人們隻發現29個，而且都是偶完全數。前5個分別是：6，28，496，8128，33550336。
經過不少科學家的研究，現在已經發現，假如數2n－1，是素數，那麼數2n－1·（2n－1）就一定是完全數，其中的n也同樣是素數。為此，數學家就用英文Prime（素數）的第一個字母p代替n，還把形如2p－1的素數叫“默森尼數”。但是，對於下麵兩個問題：“偶完全數的個數是不是有限的？”“有沒有完全數？”數學家到現在還沒有解決。
完全數有許多有趣的性質，例如：
1.它們都能寫成連續自然數之和：
6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+4+……+31，8128=1+2+3+4+……+127；
2.它們的全部因數的倒數之和都是2。
11+12+13+16=2
11+12+14+17+114+128=2
11+12+14+18+116+131+162+1124+1248+1496=2
關燈遊戲
對一批編號為1～100，全部開關朝上(開)的燈進行以下操作：凡是1的倍數反方向撥一次開關；2的倍數反方向又撥一次開關；3的倍數反方向又撥一次開關……同學們，你知道嗎？最後為關熄狀態的燈的編號是哪些？
［答案：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。
分析：若實際操作求解會相當繁瑣。我們知道，就某個亮著的燈而言，如果撥其開關的次數是奇數次，那麼，結果它一定是關著的。根據題意可知，號碼為N的燈，撥開關的次數等於N的約數的個數，約數個數是奇數，則N一定是平方數。因為102=100，可知100以內共有10個平方數，即，最後關熄狀態的燈共有10盞，編號為1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。同學們，你是這樣想的嗎？］
照鏡子
想象你在鏡子前，請問，為什麼鏡子中的影像可以顛倒左右，卻不能顛倒上下？
［答案：因為照鏡子時，鏡子是與你垂直平行的，但在水平方向剛好轉了180度。所以鏡子中的影像可以顛倒左右，卻不能顛倒上下。］