成竹在胸
阿裏巴巴賣香蕉
阿裏巴巴從水果批發市場販來了一些香蕉回家鄉賣。阿裏巴巴把最好的香蕉定價為12元1斤，把最差的香蕉定價為045元1斤。阿裏巴巴賣最差的香蕉比賣最好的香蕉多賣了5斤，兩種香蕉賣了一樣多的錢。
聰明的阿裏巴巴很快就把賣的最好香蕉和最差香蕉的斤數算了出來。
你能算出來嗎？別讓阿裏巴巴失望噢！
［答案：最好的香蕉賣了3斤，最差的香蕉賣了8斤。］
親和的友好數
友好數又叫親和數，它指的是這樣的兩個自然數，其中每個數的真因數之和等於另一個數。
畢達哥拉斯是公元前6世紀的古希臘數學家。據說曾有人問他：“朋友是什麼？”他回答：“這是第二個我。正如220和284”為什麼他把朋友比喻成了兩個數呢？原來220的真因數是1，2，4，5，10，11，20，22，44，55和110，加起來得284；而284的真因數是1，2，4，71，142，也起來也恰好是220。284和220就是友好數。它們是人類最早發現的又是所有友好數中最小的一對。
第二對友好數（17296，18416），是在兩千多年後的1636年才發現的。之後，人類不斷發現新的友好數。1747年，歐拉已經知道30對，1750年又增加到60對。到現在科學家已經發現了900對以上這樣的友好數。令人驚訝的是，第二對最小的友好數（1184，1210）直到19世紀後期才被一個16歲的意大利男孩發現的。
人們還研究了友好數鏈；這是一個連串自然數，其中每個數的真因數之和都等於一個數，最後一個數的真因數之和等於第一個數。如：12496，14288，15472，14536，14264。有一個這樣的鏈竟包含了28個數。
懸而未決的費馬數
偉大的科學家同樣也會犯錯誤，科學史上這樣的事件屢見不鮮。被舉為“近代數論之父”、“業餘數學家之王”的17世紀法國數學家費馬就是其中一個，而且他所犯的錯誤又恰恰是在他最擅長的數論之中。
1640年，費馬發現：設Fn=22n+1，則當n=0，1，2，3，4時，Fn分別給出3，5，17，257，65537，都是素數。這種素數被稱為“費馬數”。由於F5太大（F5=4294967297）他沒有再進行驗證就直接猜測：對於一切自然數n，Fn都是素數。不幸的是，他猜錯了。1732年歐拉發現：F5=225+1=4294967297=614×6700417，偏偏是一個合數！1880年，又有人發現F6=226+1=27477×67280421310721，也是合數。
不僅如此，以後陸續發現F7，F8……直到F19以及許多n值很大的Fn全都是合數！雖然Fn的值隨著n值的增加，以極快的速度變大（例如1980年求出F8=1238926361552897×一個62位數），目前能判斷它是素數還是合數的也隻有幾十個，但人們驚奇地發現：除費馬當年給出的5個外，至今尚未發現新的素數。這一結果使人們反過來猜測：是否隻有有限個費馬數？是否除費馬給出的5個素數外，再也沒有了？可惜的是，這個問題至今還懸而未決，成了數學中的一個謎。
歐拉首先使用的符號i
在實數範圍內，方程x2+1=0是無解的，因為任何實數，不論是正數、零還是負數，它的平方都是正數，或是零，不可能找到平方等於－1的數。
為了使這個方程有解，科學家引入了一個新的單位數i，規定它有性質i2=－1，這樣的性質是任何實數都沒有的。根據這性質知道它有i=±－1，這與在實數範圍內負數不能開平方的結論不同，人們把－1記作i稱為虛數單位，由於虛數單位i和一個實數合起來組成的數，稱為虛數，如6i，10i。
符號i是數學家歐拉於1777年在他的論文中首先使用的。後來德國數學家高斯係統地運用它，並給出了有關虛數的運算法則，以後逐漸被普遍采用。有了i這個虛數單位，人們就將數從實數擴充到複數。複數的形式為a+bi，其中a、b為料數，若a=0，b≠0，則稱bi為純虛數；若a≠0，b=0，那就是實數。因此可以把實數看成虛部為零的複數。
在複數範圍內，人們規定了它的運算法則。設a1+b1i和a2+b2i是兩個複數，有：
（a1+b1i）+（a2+b2i）=(a1+a2)+(b1+b2)i
（a1+b1i）－（a2+b2i）=(a1－a2)+(b1－b2)i
（a1+b1i）·（a2+b2i）=(a1a2－b1b2)+(a1a2+b1b2)i
a1+b1ia2+b2i=(a1a2+b1b2)+(b1a2－a1b2)ia22+b22
例如：（25+2i）－（20－2i）
=(25－20)+（2－－2）i
=5+22
打耳光
一群人開舞會，每人頭上都戴著一頂帽子。帽子隻有黑白兩種，黑的至少有一頂。每個人都能看到其他人帽子的顏色，卻看不到自己的。主持人先讓大家看看別人頭上戴的是什麼帽子，然後關燈，如果有人認為自己戴的是黑帽子，就打自己一個耳光。第一次關燈，沒有聲音。於是再開燈，大家再看一遍，關燈時仍然鴉雀無聲。一直到第三次關燈，才有劈劈啪啪打耳光的聲音響起。問有多少人戴著黑帽子？
［答案：應該是有三個人戴黑帽。
分析：假設有N個人戴黑，當N=1時，戴黑人看見別人都為白則能肯定自己為黑。於是第一次關燈就應該有聲。可以斷定N>1。對於每個戴黑的人來說，他能看見N-1頂黑帽，並由此假定自己為白。但等待N-1次還沒有人打自己以後，每個戴黑人都能知道自己也是黑的了。所以第N次關燈就有N個人打自己。奧妙就在你得作個假設。假如隻有一個人戴黑帽子，那他看到所有人都戴白帽，在第一次關燈時就應鼓掌，所以應該不止一個人戴黑帽子；如果有兩頂黑帽子，第一次兩人都隻看到對方頭上的黑帽子，不敢確定自己的顏色，但到第二次關燈，這兩人應該明白，如果自己戴著白帽，那對方早在上一次就應打耳光了，因此自己戴的也是黑帽子——於是也會有兩個人鼓掌；可事實是第三次才響起掌聲，說明全場有三頂黑帽，依此類推，應該是關幾次燈，有幾頂黑帽。你做對了嗎？］
幾十一乘幾十一
幾十一乘幾十一的口訣是：頭乘頭，頭加頭，尾乘尾。
也就是我們可以用：先寫十位積，再寫十位和（和滿10進1），後寫個位積。如果十位數的和是一位數，我們先直接寫十位數的積，再接著寫十位數的和，最後寫上1就一定正確；如果十位數的和是兩位數，我們先直接寫十位數的積加1的和，再接著寫十位數的和的個位數，最後寫一個1就一定正確。
我們來看看：
用“先寫十位積，再寫十位和（和滿10進1），後寫個位積”這種速算方法直接寫得數時的思維過程來寫下下麵幾道題的思維過程。
21×41=？思維過程是：2×4=8，2＋4=6，21×41就等於861。
21×61=？思維過程是：2×6=12，2＋6=8，21×61就等於1281。
那麼41×91=？同樣的，思維過程是：4×9=36，4＋9=13，36＋1=37，41×91就等於3731。
一休預算訂報人數
小東東帶了一道在課堂上沒做完的作業題回家做。但是小東東做了很久還是沒有做出來，小東東不想再做下去了，他拿起作業本就去找聰明的一休。
小東東把題目讀給了一休聽：全班42名同學都訂了報，其中訂閱《智力報》的有33名；訂閱《奧林匹克習題報》的有28名。問有多少同學兩種報紙都訂了。
一休對小東東說：“別急，別急！”一閉上眼睛就算出來了。
你比一休算得慢吧！
［答案：19名同學。］
喝汽水
1元錢一瓶汽水，喝完後兩個空瓶換一瓶汽水，同學們，假如你有20元錢，最多可以喝到幾瓶汽水呢？
［答案：40瓶。
分析：一開始20瓶沒有問題，隨後的10瓶和5瓶也都沒有問題，接著把5瓶分成4瓶和1瓶，前4個空瓶再換2瓶，喝完後2瓶再換1瓶，此時喝完後手頭上剩餘的空瓶數為2個，把這2個瓶換1瓶繼續喝，喝完後把這1個空瓶換1瓶汽水，喝完換來的那瓶再把瓶子還給人家即可，所以最多可以喝的汽水數為：20＋10＋5＋2＋1＋1＋1＝40］
勾股數和費馬大定理
如果一個直角三角形的兩條直角邊分別是a和b斜邊是c，那麼a2+b2=c2，這就是著名的“勾股定理”。如果a、b、c都是正整數，就說它們是一組勾股數。一般地說，勾股數就是不定方程x2+y2=z2(1)
的正整數解。
在公元前1900—前1600年的一塊巴比倫泥板中，記載了15組勾股數，包括（119，120，169），（3367，3456，4825），（12709，13500，18541）這樣一些數值很大的勾股數，說明當時已經有了求勾股數的某種公式。
於是人們進一步設想：在（1）中，如果未知數的次數比2大，還有沒有正整數解呢？
大約在1637年，費馬認真地研究了這個問題，指出，他已經證明，一個立方數不可能表為兩個立方數之和，一個四次方也不可能表為兩個四次方之和。一般說來，指數大於2的任何冪不可能表為兩個同樣方冪之和。也就是說，當n＞2時，不定方程x2+y2=z2（2）沒有正整數解。這就是通常人們所說的費馬大定理，也叫費馬最後定理。
後來，一直沒有發現費馬的證明。300多年來，大批數學家，其中包括歐拉、高斯、阿貝爾、柯西等許多最傑出的數學家都試圖加以證明，但都沒有成功，使這個大定理成了數學中最著名的未解決問題之一。現在一般認為，當初費馬也並沒有證出這條定理。
費馬大定理也吸引了無數業餘愛好者。當1908年德國哥廷根科學院宣布將發給第一個證明它的人10萬馬克獎金時，據說有些商人也加入了研究的行列。但由於費馬大定理不可能有初等證明，因而那些連初等數論的基本內容都不熟悉的人，對此隻能“望洋興歎”了。這說明攻克世界難題，不僅需要勇氣和毅力，還需要具備紮實的基礎知識。
強盜的難題
強盜搶劫了一個商人，將他捆在樹上準備殺掉。為了戲弄這個商人，強盜頭子對他說：“你說我會不會殺掉你，如果說對了，我就放了你，決不反悔！如果說錯了，我就殺掉你。”
聰明的商人仔細一想，便說：“你會殺掉我的。”於是強盜頭子發呆了，“哎呀，我怎麼辦呢？如果我把你殺了，你就是說對了，那應該放你；如果我把你放了，你就說錯了，應該殺掉才是。”強盜頭子想不到自己被難住了，心想商人也很聰明，隻好將他放了。
這是古希臘哲學家喜歡講的一個故事。如果我們仔細想一想，就會明白那個商人是多麼機智。他對強盜說：“你會殺掉我的。”這樣，無論強盜怎麼做，都必定與許諾相矛盾。
如果不是這樣，假如他說：“你會放了我的。”這樣強盜就可以說：“不！我會殺掉你的，你說錯了，應該殺掉。”商人就難逃一死了。
下麵這個例子也是有趣的。有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什麼事都能做得到。一位過路人問了一句話，使他頓時張口結舌。
這句話是：“上帝能創造一塊他也舉不起來的大石頭嗎？”請你想一想，這個教徒為什麼會啞口無言？
唐僧計算經書頁碼
唐僧曆經千辛萬苦終於來到西天大雷音寺領取佛經。如來佛祖出了一個題目想考考唐僧的智力。如來佛祖對唐僧說：“我有一本佛經，它的頁碼不到3000頁。把這本書的全部頁碼除以2餘1，除以3餘2，除以4餘3，除以5餘4，依此類推，除以9餘8。這本佛經準確的頁碼是多少？”