換句話說，移動的手續是，每八步可作為一個單元，其中的前七步一定是“一二一三一二一”，至於到底應“上”應“下”呢，這可依自然趨勢而定。即：原來不在釵上的應“上”，原來在釵上的應“下”。至於第八步則要看那時釵頭的情況而定：如果有兩環相連時，一定要脫下後一環；如果釵頭隻有單獨的一環時，一定要套上後一環。以上就是口訣的意思，“算法”的全部奧妙就都在這裏了。根據這三句口訣，解開或套上九個環，雖然有341步之多，也不費吹灰之力了。據我國古代小說記載，民間老藝人把九連環全部解開來，大約隻要五分鍾左右。
1975年，在國外出版了一本專書，專門講各式各樣的數列。由於電子計算機的飛速發展，數學裏有一種“離散化”傾向，因此，這本書的出版，被認為是前所未有的，得到了各方麵的好評。在這本書裏，也收羅著下麵的數列：
1、2、5、10、21、42、85、170、341……
起先大家都莫名其妙，不知道它是幹什麼用的，因為它既非等差數列，又非等比數列，也不是一些有名的數列。但是，後來一經指點就恍然大悟了，原來它就是“九連環”數列。第一項的1，表明解開一個環隻要一步，第二項的2，表明解開二個環需要二步……等等以此類推。由此可見，解開九個環，一共需要三百四十一步。
數列裏頭的各個數，到底有什麼規律？是否非得死記不可？經過專家一研究、一分析，謎底終於揭穿了。原來，如果我們用un代表上述數列中的第n項，那麼，就可以得出下麵的公式：
當n是偶數時，un＝2un－1。
（例如，解開八個環需要的步數170，正好是解開七個環需要的步數85的二倍。）
當n是奇數時，un＝2un－1＋1。
（例如，解開九個環需要的步數341，等於解開八個環需要的步數170的二倍再加上1。）
這樣一來，我們有了u1，就能推出u2，有了u2，就能推出u3……正像順藤摸瓜，這種方法就叫“遞歸”，是數學裏一個非常重要的概念。
上麵的方法雖然好，有人卻仍舊感到美中不足。他們問，如果要解開幾個環，到底需要幾步？有沒有一個直接的計算公式呢？用數學的行話來說，就是要求出一個用n來表示un的函數關係。經過前人的研究，這個式子也是有的，即：
un＝13（2n＋1－1）當n為奇數時；13（2n＋1－2）當n為偶數時；
於是，九連環的問題就圓滿解決了。
唐老鴨買果凍
唐老鴨看到他的老搭檔米老鼠吃果凍吃得津津有味，他的口水都快要流出來了。於是他也跑到商店買果凍吃。賣果凍的是小狗史努比，史努比告訴唐老鴨果凍是02元錢1個。唐老鴨立刻掏錢買了3個果凍。唐老鴨想回家去吃，於是他拔腿就往家裏猛跑。跑到家裏的時候，3個果凍都跑丟了。唐老鴨隻得又跑到小狗史努比那裏去買果凍，他又買了3個果凍。非常不幸的是，他在半路上又把3個果凍跑丟了。這下唐老鴨可生氣了，他又氣呼呼地跑到小狗史努比那裏去買果凍，他立刻就把3個果凍吃了。
請問，唐老鴨花了多少錢買了幾個果凍？
［答案：唐老鴨花了18元錢買了9個果凍。］
誰在說謊
◎現在有三個女人，分別係詩、藍、彭。詩說：誌喜歡藍；藍說：誌不喜歡詩；彭說：誌不喜歡藍；其中有一人講大話，誌喜歡誰呢？
……
［答案：誌喜歡詩。
推理：假設詩說謊，誌喜歡彭；藍說謊就矛盾了，排除；彭說謊，誌喜歡的就是詩。彭說謊。一個說謊就是彭，一個人說真話就是詩。］
◎現有張三、李四、王五三人，張三說李四在說謊，李四說王五在說謊，王五說張三、李四都在說謊，誰說的是真話？
……
［結論：張三、王五說假話，李四說真話。
分析：設張三為A、李四為B、王五為C，說真話為1，說謊話為0
(Ⅰ)若A=1,即張三說真話
由於張三說：“李四在說謊”可推知B=0而李四說：“王五在說謊”，但B=0，李四說假話，則王五說的真話C=1；由於王五說：“張三和李四都在說謊”，可知A=0，B=0與A=1矛盾，則A=1時問題無解。
(Ⅱ)若張三說假話，即A=0。由於張三說：“李四在說謊”，可知李四說真話，即B=1；李四說：“王五在說謊”知C=0由於王五說：“張三和李四都說謊”，而C=0，可得A=1，B=1或A=0，B=1，或A=1，B=0。隻要這三種情況有一種成立，都可說明王五說的張三、李四全都說謊是假的，因在這三種情況中至少有一個人說的是真話。由這三種情況可以挑選出A=0，B=1，C=0符合要求。］
山姆有罪嗎
在美國芝加哥，有一家大百貨商店被人盜竊了一批財物。芝加哥警察局經過偵察，拘捕了三個重大的嫌疑犯:山姆、湯姆與吉寧士。後來，又經過審問，查明了以下的事實：
1.罪犯帶著贓物是坐車逃掉的；
2.不夥同山姆，吉寧士決不會作案；
3.湯姆不會開汽車；
4.罪犯就是這三個人中的一個或一夥。
在這個案子裏，山姆有罪嗎？
山姆有罪嗎?
［答案：在這個案子裏，山姆肯定是有罪的。
動作分解：我們可以這樣來推理：如果湯姆無罪，那麼，罪犯就是山姆，或是吉寧士。假如山姆就是罪犯，那他當然有罪。而假如吉寧士是罪犯，那他一定是和山姆共同作案的(因為他不夥同山姆是決不作案的)。所以，在湯姆無罪的情況下，山姆是有罪的。
如果湯姆有罪，那麼他必定要夥同一個人去作案(因為他不會開汽車)。他或者夥同山姆，或者夥同吉寧士。如果夥同山姆，那麼山姆當然有罪。如果夥同吉寧士，那麼，山姆還是有罪，因為吉寧士隻有夥同山姆才會作案。
或者湯姆無罪，或者湯姆有罪，總之，山姆是有罪的。
以上的推理，顯然是運用二難推理。我們如果仔細地分析一下，就可以看出這裏包含著三個二難推理。
1從假設湯姆無罪。其具體的二難推理過程為：假如山姆是罪犯，那麼山姆當然有罪；假如吉寧士是罪犯，那麼山姆也有罪或者山姆是罪犯，或者吉寧士是罪犯。總之，山姆有罪這是簡單構成式的二難推理。
2從假設湯姆有罪推出山姆有罪，運用的也是二難推理。即：如果湯姆夥同山姆作案，那麼山姆當然有罪；如果湯姆夥同吉寧士作案，那麼山姆還是有罪或者夥同湯姆，或者夥同吉寧士。總之，山姆有罪這也是個簡單構成式的二難推理。
3把以上兩個假設合並起來，也是一個二難推理。即：如果湯姆無罪，那麼山姆是有罪的；如果湯姆有罪，那麼山姆還是有罪的或者湯姆無罪，或者湯姆有罪。總之，山姆有罪這也是個簡單的構成式的二難推理。］