玻洛漢姆橋上的數學發現
愛爾蘭的都柏林市有一座名叫玻洛漢姆的橋。至今，橋頭仍立著一塊石碑，碑文刻的是：“1843年10月16日，當威廉·哈密頓經過此橋時，他天才地發現了四元數的乘法基本公式。”人們經過這裏，都要駐足觀看碑文，緬懷哈密頓對科學的偉大貢獻。
哈密頓，1805年生於愛爾蘭首府都柏林。他的父親是一位律師兼商人，母親是名門小姐，父母都很有才華。但是，到他14歲時，雙親都不幸相繼去世。從此，他的叔叔詹姆士·哈密頓成了他的監護人。詹姆士是一位精通多種語言的專家，哈密頓從小就受其影響，在語言上得到了早期發展。正是早期的語言發展，提高了他的邏輯思維能力，為他在數學的成就奠定了基礎。
12歲時，哈密頓讀完了《幾何原本》，接著，又讀完了法國數學家克萊羅的《代數基礎》。13歲時，從美國來了一位數學神童。於是，兩位神童互相切磋，取長補短，使他在數學上的興趣大增。17歲時，哈密頓就掌握了微積分，並學會了計算日食和月食的數理天文學。18歲時，他參加了都柏林三一學院的入學考試，在100多名考生中，他以第一名的成績被錄取。
1827年，22歲的哈密頓大學還沒有畢業，就寫成了《光線係統理論》的論文。這篇論文為幾何光學的建立奠定了素材基礎，並且引入了所謂光學的物征函數。後來，哈密頓又對該論文作了三個補充，從數學理論推演出，在雙軸晶體中按某一特殊方向傳播的光線，將產生折射光線的一個圓錐。這個論點後來被光學實驗證實了。
當時學院裏有一位很有影響的天文學教授叫布瑞克萊，他十分欣賞哈密頓的才華。1827年，布瑞克萊宣布辭去都柏林三一學院天文學教授的職位。他極力推薦，並說服校方，年僅22歲的哈密頓就成了布瑞克萊的繼承人，成為天文學教授。與此同時，哈密頓又榮獲了愛爾蘭皇家天文學家的稱號。
但是，哈密頓的誌向不在天文學上，他全力以赴地鑽研數學。1828年開始，他就著手研究四元數。四元數是實數、複數這個數係的發展，是超複數的一種，即屬於四維矢量。用現代術語來說，它是一個線性代數的組成部分。
然而，經過十幾年的苦心鑽研，哈密頓仍然沒有成功。1843年，已經是他研究四元數的15個年頭了。這年的10月16日黃昏，哈密頓的妻子見丈夫整日埋頭書堆，勞累不堪，於是費了好大勁才把他勸動，拉他外出散步。
當時秋高氣爽，景色宜人。哈密頓在妻子的陪同下，漫步在皇家護城河畔的林蔭道上。一陣陣秋風吹來，帶著成熟的果香。哈密頓貪婪地呼吸著河畔清新的空氣，不禁心曠神怡。他暫時忘了他醉心的數學題目，陶醉在大自然之中。
他們夫妻倆走上了玻洛漢姆橋，駐足橋上，望著暮色中的街景橋影，哈密頓的大腦思維突然再度活躍起來，閃光、跳蕩、尋覓、聯想……突然，他的思維大門一下子打開了，智慧的衝擊波衝破了以往的障礙束縛，他一下子悟出了四元數運算的奧秘。他立刻掏出隨身攜帶的筆記本，把他頭腦中閃光的要點迅速記錄下來。追求15年之久的四元數研究目標，終於在玻洛漢姆橋上找到了它的解法。哈密頓唯恐思路中斷，急忙拉起他的夫人往家裏跑去，這時，其他散步的男女老少都用奇異的目光看著這一對怪人。
回到家裏，哈密頓把自己關進書房，一連幾天不肯出來，甚至連飯都得讓人送進去。最後，他終於從數百頁演算紙裏，抄清出了一篇極有價值的論文。
1843年11月，哈密頓在愛爾蘭科學院宣布發現“四元數”，從而轟動了當時的數學界。四元數的發現，有力地推動了向量代數的發展。過去，複數理論隻可用於平麵向量，而空間向量問題則要用四元數向量部分來解決。哈密頓還把四元數引入微積分，定義了描述函數的數量或方向兩個方麵的變化的一係列概念。例如“梯度”、“旋量”等，成為研究物理學、工程學的重要計算工具。
10年之後，哈密頓寫成了《四元數講義》，並於1857年發表。當時著名的物理學家麥克斯韋正在研究電和磁，他苦於無法描述電磁運動及其變化規律。電和磁都是帶有方向性的量。要弄清電磁運動的規律，必須首先從數學方法上找到解決的途徑。麥克斯韋曾長期用複數向量處理，卻一直得不到正確結果。當哈密頓四元數問世後，終於使麥克斯韋走出困境，使他的電磁研究獲得了成功，並得出了“麥克斯韋方程組”，預言了電磁波的存在。
哈密頓深知四元數在科學上的重大意義。於是，在他生命的最後20多年中，一直傾注全力進行研究。他預感到，四元數的應用將在物理界引起巨大的變革。可惜的是，在這種變革沒有到來之際的1865年9月2日，他因為慢性酒精中毒而離開了人間，終年60歲。
第一個算出地球周長的人
2000多年前，有人用簡單的測量工具計算出地球的周長。這個人就是古希臘的埃拉托色尼(約公元前275—前194年)。
埃拉托色尼博學多才，他不僅通曉天文，而且熟知地理；又是詩人、曆史學家、語言學家、哲學家，曾擔任過亞曆山大博物館的館長。
細心的埃拉托色尼發現：離亞曆山大城約800公裏的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的陽光可以一直照到井底，因為這時候所有地麵上的直立物都應該沒有影子。但是，亞曆山大城地麵上的直立物卻有一段很短的影子。他認為：直立物的影子是由亞曆山大城的陽光與直立物形成的夾角所造成。從地球是圓球和陽光直線傳播這兩個前提出發，從假想的地心向塞恩城和亞曆山大城引兩條直線，其中的夾角應等於亞曆山大城的陽光與直立和形成的夾角。按照相似三角形的比例關係，已知兩地之間的距離，便能測出地球的圓周長。埃拉托色尼測出夾角約為7度，地球的周長大約為4萬公裏，這是實際地球周長(360度)的五十分之一，由此推算地球的周長大約為4萬公裏，這與實際地球周長(40076公裏)相差無幾。還計算出太陽與地球間的距離為147億公裏，和實際距離149億公裏也驚人地相近。這充分反映了埃拉托色尼的嚐試說和智慧。
埃拉托色尼是首先使用“地理學”名稱的人，從此代替傳統的“地方誌”，寫成了三卷專著。書中描述了地球的形狀、大小和海陸分布。埃拉托色尼還用經緯網繪製地圖，最早把物理學的原理與數學方法相結合，創立了數理地理學。
用淘汰製計算比賽場數
如果你所在的學校要舉辦一次象棋比賽，報名的是50人，用淘汰製進行，要安排幾場比賽呢？一共賽幾輪呢？如果你是比賽的主辦者，你會安排嗎？
因為最後參加決賽的應該是2人，這2人應該從22＝4人中產生，而這4人又應該是從23＝8人中產生的。這樣，如果報名的人數恰巧是2的整數次冪，即2、4（22）、8（23）、16（24）、32（25）……，那麼，隻要按照報名人數每2人編成一組，進行比賽，逐步淘汰就可以了。假如報名的人數不是2的整數次冪，在比賽中間就會有輪空的。如果先按照2個人一組安排比賽，輪空的在中後階段比，而中後階段一般實力較強，比賽較緊張，因此輪空與不輪空機會上就顯得不平衡。為了使參賽者有均等的獲勝機會，使比賽越來越激烈，我們總把輪空的放在第一輪。例如上例的50在32（25）與64（26）之間，而50－32＝18。那麼第一輪應該從50人中淘汰18人，即進行18場比賽。這樣參加第一輪的是18組36人，輪空的有14人。第一輪比賽後，淘汰18人，剩下32人，從第二輪起就沒有輪空的了。第二輪要進行16場比賽，第三輪8場，第四輪4場，第五輪2場，第六輪就是決賽產生冠軍和亞軍。這樣總共進行六輪比賽，比賽的場數一共，是：18＋16＋8＋4＋2＋1＝49，恰恰比50少1。
我們再來看看世界杯足球賽的例子。1998年的法國世界杯賽共有32支參賽球隊，比賽采取的方式是先進行分組循環賽，然後進行淘汰賽。如果全部比賽都采用淘汰製進行，要安排幾場比賽呢？32正好是25，因而總的場數是16＋8＋4＋2＋1＝31，也是比32少1。
不妨再從一般情況來研究。如果報名的人數為M人。而M比2n大，但比2n＋1小，那麼，就需要進行n＋1輪比賽，其中第一輪所需要比賽的場數是M－2n，第一輪比賽淘汰M－2n人後，剩下的人數為M－（M－2n）＝2n。以後的n輪比賽中，比賽的場數為：
2n＋1＋2n－2+2n－3＋……＋23＋22＋2＋1
＝(2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2＋1)×(2－1)
＝(2n＋2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2)－(2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2＋1)
＝2n－1
所以，一共比賽的場數是（M－2n）＋（2n－1）＝M－1，即比參加的人數少1。
其實，每一場比賽總是淘汰1人。在M人參加的比賽中，要產生1個冠軍就得淘汰M－1人，所以就得比賽M－1場。你明白了嗎？
怎麼走路淋雨越少
人們經常在雨中奔跑，因為通常認為走得越快，淋的雨就越少。那麼實際情況是不是這樣呢?我們來算一下。
設人體為一長方柱，其前、側、頂的表麵積之比為1∶a∶b。將人行走的方向設為x軸，設人的行走速度為v，行走距離為l。假定雨速是常數u，它在地平麵x軸、y軸及垂直於地麵的z軸上的分速度分別為ux、uy、uz。
由於在單位時間內，人在前、側、頂三個方向的淋雨量，與它們的表麵積以及三個方向上人與雨的相對速度的絕對值有關，所以單位時間的淋雨量一般可表示為
k（｜v－ux｜＋a｜uy｜＋b｜uz｜），
其中k為比例係數。因此，在l/v時間內，總淋雨量為
s（v)＝klv（｜v－ux｜＋a｜uy｜＋b｜uz｜)。
其中隻有v是變量，所以s是v的函數。
下麵我們分不同的情況來討論。當v＜ux，即在行走方向上人行走的速度小於雨的速度時：
s（v）＝klux＋a｜uy｜＋b｜uz｜v－1。
顯然v越大，s（v)越小，就是說在這種情況下，走得越快，淋雨量越小。
按照上麵的公式，我們同樣可以得出當v≥ux時，如果uxa｜uy｜＋b｜ur｜，走得越快，淋雨量越小。而如果ux＞a｜uy｜＋b｜uz｜，則是走得越快，淋雨量越大。事實上，由於此時x軸方向雨速最大，淋雨量主要來自這一方向，因此v不宜過大。相反，倒是要保持人速與雨速相等，即v＝ux，才能使“前”身的淋雨量為0。
購買獎券的中獎概率
日常生活中我們常可見到各種各樣的獎券、彩票，比如體育彩票、社會福利彩票、有獎儲蓄獎券等等。購買獎券時到底是買連號的好還是買不連號的好？到底哪一種中獎機會大呢？
我們先來看一個簡單的例子。設有某種獎券，獎券號末位是0的就中獎，中獎機會（概率）是10％。現購買兩張獎券。如果購買連號的，則兩張獎券的獎券號末位共有10種可能，分別是（0，1），（1，2），（2，3）……（9，0），且每一種情況出現的可能性（概率）是一樣的，而其中隻有（0，1）及（9，0）兩種情況中，會有一張獎券中獎，因此，總的中獎概率為20％，平均中獎次數為1×20%＝02次。如果不買連號的而任意購買兩張獎券，則兩個末位號有以下100種可能，同樣每種情況出現的概率相同，各為1％。
（0，0），（0，1），（0，2）……（0，9）
（1，0），（1，1），（1，2）……（1，9）
……
（9，0），（9，1），（9，2）……（9，9）
在這100種情況下，隻有在（0，0）一種情況下，所購買的兩張獎券都中獎，因此概率是1％；而在（0，1）……（0，9）及（1，0）……（9，0）共18種情況中，有且隻有一張獎券中獎，概率為18%；在其餘情況下，所購買的兩張獎券均不中獎。因此，總的中獎概率為1％＋18％＝19％，比購買連號時的20％小了1％，但平均中獎次數為2×1％＋1×18％＝02次，與購買連號時一樣。因此我們說，購買連號或不連號的兩種情況下，平均中獎次數（機會）是一樣的。
如果購買三張獎券，計算也與前麵類似。購買連號的時候，中獎概率是30％，平均中獎次數是03次。購買不連號的時候，三張獎券都中獎的概率是01％，有兩張獎券中獎的概率是27％，隻有一張中獎的概率是243％，總的中獎概率是271％＜30%。此時，平均中獎次數為3×01％＋2×27%＋1×243％＝03次，仍與購買連號時一樣。事實上，無論購買幾張獎券，兩種購買方式的平均中獎次數都是一樣的。